Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59374 / 33494
↖ ↑ ↗
← N 65.705778°
W 16.924439°		 ← 125.66 m → N 65.705778°
W 16.921692°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 65.704648°
W 16.924439°		 ← 125.66 m →
15 788 m²		 N 65.704648°
W 16.921692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59374 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452991485595703 y=0.255542755126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452991485595703 × 217)
    floor (0.452991485595703 × 131072)
    floor (59374.5)     		tx = 59374
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255542755126953 × 217)
    floor (0.255542755126953 × 131072)
    floor (33494.5)     		ty = 33494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59374 / 33494 ti = "17/59374/33494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59374/33494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59374 ÷ 217
    59374 ÷ 131072     		x = 0.452987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33494 ÷ 217
    33494 ÷ 131072     		y = 0.255538940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452987670898438 × 2 - 1) × π
    -0.094024658203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29538718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255538940429688 × 2 - 1) × π
    0.488922119140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.53599413762584
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29538718} λ = -0.29538718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53599413762584))-π/2
    2×atan(4.64594194059061)-π/2
    2×1.35878924800096-π/2
    2.71757849600193-1.57079632675     		φ = 1.14678217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29538718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.924439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14678217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.705778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59374 KachelY 33494 -0.29538718 1.14678217 -16.924439 65.705778
    Oben rechts KachelX + 1 59375 KachelY 33494 -0.29533924 1.14678217 -16.921692 65.705778
    Unten links KachelX 59374 KachelY + 1 33495 -0.29538718 1.14676245 -16.924439 65.704648
    Unten rechts KachelX + 1 59375 KachelY + 1 33495 -0.29533924 1.14676245 -16.921692 65.704648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14678217-1.14676245) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14678217-1.14676245) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29538718--0.29533924) × cos(1.14678217) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.411422440179886 × 6371000     		do = 125.659003244611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29538718--0.29533924) × cos(1.14676245) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.411440413790828 × 6371000     		du = 125.664492848033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14678217)-sin(1.14676245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411422440179886-0.411440413790828)×R²
    abs(-0.29533924--0.29538718)×1.79736109418571e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.79736109418571e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.79736109418571e-05×40589641000000     		ar = 15787.6544575007m²