Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59373 / 59309
↖ ↑ ↗
← S 81.022345°
E146.145630°		 ← 95.31 m → S 81.022345°
E146.151123°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
S 81.023202°
E146.145630°		 ← 95.30 m →
9 084 m²		 S 81.023202°
E146.151123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905967712402344 y=0.904991149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905967712402344 × 216)
    floor (0.905967712402344 × 65536)
    floor (59373.5)     		tx = 59373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904991149902344 × 216)
    floor (0.904991149902344 × 65536)
    floor (59309.5)     		ty = 59309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59373 / 59309 ti = "16/59373/59309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59373/59309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59373 ÷ 216
    59373 ÷ 65536     		x = 0.905960083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59309 ÷ 216
    59309 ÷ 65536     		y = 0.904983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905960083007812 × 2 - 1) × π
    0.811920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55072243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904983520507812 × 2 - 1) × π
    -0.809967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54458650563182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55072243} λ = 2.55072243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54458650563182))-π/2
    2×atan(0.0785055068552601)-π/2
    2×0.0783448211540181-π/2
    0.156689642308036-1.57079632675     		φ = -1.41410668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55072243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41410668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.022345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59373 KachelY 59309 2.55072243 -1.41410668 146.145630 -81.022345
    Oben rechts KachelX + 1 59374 KachelY 59309 2.55081830 -1.41410668 146.151123 -81.022345
    Unten links KachelX 59373 KachelY + 1 59310 2.55072243 -1.41412164 146.145630 -81.023202
    Unten rechts KachelX + 1 59374 KachelY + 1 59310 2.55081830 -1.41412164 146.151123 -81.023202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41410668--1.41412164) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41410668--1.41412164) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55072243-2.55081830) × cos(-1.41410668) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156049268642806 × 6371000     		do = 95.3129848044681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55072243-2.55081830) × cos(-1.41412164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156034491896224 × 6371000     		du = 95.3039593483758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41410668)-sin(-1.41412164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156049268642806-0.156034491896224)×R²
    abs(2.55081830-2.55072243)×1.47767465814852e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47767465814852e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47767465814852e-05×40589641000000     		ar = 9083.86572348962m²