Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59373 / 45502
↖ ↑ ↗
← N 48.111099°
W 16.927185°		 ← 203.89 m → N 48.111099°
W 16.924439°		 →
↑
203.94 m
↓
↑
203.94 m
↓
N 48.109265°
W 16.927185°		 ← 203.89 m →
41 581 m²		 N 48.109265°
W 16.924439°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452983856201172 y=0.347156524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452983856201172 × 217)
    floor (0.452983856201172 × 131072)
    floor (59373.5)     		tx = 59373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347156524658203 × 217)
    floor (0.347156524658203 × 131072)
    floor (45502.5)     		ty = 45502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59373 / 45502 ti = "17/59373/45502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59373/45502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59373 ÷ 217
    59373 ÷ 131072     		x = 0.452980041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45502 ÷ 217
    45502 ÷ 131072     		y = 0.347152709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452980041503906 × 2 - 1) × π
    -0.0940399169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29543511
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347152709960938 × 2 - 1) × π
    0.305694580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.960367846988205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29543511} λ = -0.29543511}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960367846988205))-π/2
    2×atan(2.6126573548228)-π/2
    2×1.20524670589812-π/2
    2.41049341179625-1.57079632675     		φ = 0.83969709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29543511} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.927185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83969709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.111099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59373 KachelY 45502 -0.29543511 0.83969709 -16.927185 48.111099
    Oben rechts KachelX + 1 59374 KachelY 45502 -0.29538718 0.83969709 -16.924439 48.111099
    Unten links KachelX 59373 KachelY + 1 45503 -0.29543511 0.83966508 -16.927185 48.109265
    Unten rechts KachelX + 1 59374 KachelY + 1 45503 -0.29538718 0.83966508 -16.924439 48.109265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83969709-0.83966508) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dl = 203.935710000524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83969709-0.83966508) × R
    3.20100000000823e-05 × 6371000     		dr = 203.935710000524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29543511--0.29538718) × cos(0.83969709) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667688355063981 × 6371000     		do = 203.886671509587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29543511--0.29538718) × cos(0.83966508) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667712184275265 × 6371000     		du = 203.893948045918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83969709)-sin(0.83966508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667688355063981-0.667712184275265)×R²
    abs(-0.29538718--0.29543511)×2.38292112836325e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38292112836325e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38292112836325e-05×40589641000000     		ar = 41580.515090277m²