Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59372 / 59309
↖ ↑ ↗
← S 81.022345°
E146.140136°		 ← 95.32 m → S 81.022345°
E146.145630°		 →
↑
95.31 m
↓
↑
95.31 m
↓
S 81.023202°
E146.140136°		 ← 95.31 m →
9 085 m²		 S 81.023202°
E146.145630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905952453613281 y=0.904991149902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905952453613281 × 216)
    floor (0.905952453613281 × 65536)
    floor (59372.5)     		tx = 59372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904991149902344 × 216)
    floor (0.904991149902344 × 65536)
    floor (59309.5)     		ty = 59309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59372 / 59309 ti = "16/59372/59309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59372/59309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59372 ÷ 216
    59372 ÷ 65536     		x = 0.90594482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59309 ÷ 216
    59309 ÷ 65536     		y = 0.904983520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90594482421875 × 2 - 1) × π
    0.8118896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.55062655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.904983520507812 × 2 - 1) × π
    -0.809967041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.54458650563182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55062655} λ = 2.55062655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54458650563182))-π/2
    2×atan(0.0785055068552601)-π/2
    2×0.0783448211540181-π/2
    0.156689642308036-1.57079632675     		φ = -1.41410668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55062655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.140136°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41410668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.022345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59372 KachelY 59309 2.55062655 -1.41410668 146.140136 -81.022345
    Oben rechts KachelX + 1 59373 KachelY 59309 2.55072243 -1.41410668 146.145630 -81.022345
    Unten links KachelX 59372 KachelY + 1 59310 2.55062655 -1.41412164 146.140136 -81.023202
    Unten rechts KachelX + 1 59373 KachelY + 1 59310 2.55072243 -1.41412164 146.145630 -81.023202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41410668--1.41412164) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dl = 95.3101600007602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41410668--1.41412164) × R
    1.49600000001193e-05 × 6371000     		dr = 95.3101600007602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55062655-2.55072243) × cos(-1.41410668) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156049268642806 × 6371000     		do = 95.3229267033129m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55062655-2.55072243) × cos(-1.41412164) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.156034491896224 × 6371000     		du = 95.313900305794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41410668)-sin(-1.41412164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156049268642806-0.156034491896224)×R²
    abs(2.55072243-2.55062655)×1.47767465814852e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.47767465814852e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.47767465814852e-05×40589641000000     		ar = 9084.81324259552m²