Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59370 / 45498
↖ ↑ ↗
← N 48.118434°
W 16.935425°		 ← 203.86 m → N 48.118434°
W 16.932678°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 48.116600°
W 16.935425°		 ← 203.86 m →
41 562 m²		 N 48.116600°
W 16.932678°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59370 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452960968017578 y=0.347126007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452960968017578 × 217)
    floor (0.452960968017578 × 131072)
    floor (59370.5)     		tx = 59370
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347126007080078 × 217)
    floor (0.347126007080078 × 131072)
    floor (45498.5)     		ty = 45498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59370 / 45498 ti = "17/59370/45498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59370/45498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59370 ÷ 217
    59370 ÷ 131072     		x = 0.452957153320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45498 ÷ 217
    45498 ÷ 131072     		y = 0.347122192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452957153320312 × 2 - 1) × π
    -0.094085693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29557892
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347122192382812 × 2 - 1) × π
    0.305755615234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.960559594586685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29557892} λ = -0.29557892}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960559594586685))-π/2
    2×atan(2.61315837362928)-π/2
    2×1.20531071514901-π/2
    2.41062143029802-1.57079632675     		φ = 0.83982510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29557892} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.935425°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83982510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.118434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59370 KachelY 45498 -0.29557892 0.83982510 -16.935425 48.118434
    Oben rechts KachelX + 1 59371 KachelY 45498 -0.29553099 0.83982510 -16.932678 48.118434
    Unten links KachelX 59370 KachelY + 1 45499 -0.29557892 0.83979310 -16.935425 48.116600
    Unten rechts KachelX + 1 59371 KachelY + 1 45499 -0.29553099 0.83979310 -16.932678 48.116600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83982510-0.83979310) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83982510-0.83979310) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29557892--0.29553099) × cos(0.83982510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.66759305371348 × 6371000     		do = 203.857570095972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29557892--0.29553099) × cos(0.83979310) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.667616878215487 × 6371000     		du = 203.864845194269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83982510)-sin(0.83979310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66759305371348-0.667616878215487)×R²
    abs(-0.29553099--0.29557892)×2.38245020069972e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38245020069972e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38245020069972e-05×40589641000000     		ar = 41561.5921285479m²