Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5937 / 7946
↖ ↑ ↗
← N 67.567334°
W114.774170°		 ← 466.17 m → N 67.567334°
W114.763183°		 →
↑
466.23 m
↓
↑
466.23 m
↓
N 67.563141°
W114.774170°		 ← 466.26 m →
217 364 m²		 N 67.563141°
W114.763183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5937 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181198120117188 y=0.242507934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181198120117188 × 215)
    floor (0.181198120117188 × 32768)
    floor (5937.5)     		tx = 5937
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242507934570312 × 215)
    floor (0.242507934570312 × 32768)
    floor (7946.5)     		ty = 7946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5937 / 7946 ti = "15/5937/7946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5937/7946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5937 ÷ 215
    5937 ÷ 32768     		x = 0.181182861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7946 ÷ 215
    7946 ÷ 32768     		y = 0.24249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.181182861328125 × 2 - 1) × π
    -0.63763427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.00318716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24249267578125 × 2 - 1) × π
    0.5150146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61796623597614
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00318716} λ = -2.00318716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61796623597614))-π/2
    2×atan(5.04282396647407)-π/2
    2×1.37503438762932-π/2
    2.75006877525865-1.57079632675     		φ = 1.17927245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00318716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.774170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17927245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.567334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5937 KachelY 7946 -2.00318716 1.17927245 -114.774170 67.567334
    Oben rechts KachelX + 1 5938 KachelY 7946 -2.00299541 1.17927245 -114.763183 67.567334
    Unten links KachelX 5937 KachelY + 1 7947 -2.00318716 1.17919927 -114.774170 67.563141
    Unten rechts KachelX + 1 5938 KachelY + 1 7947 -2.00299541 1.17919927 -114.763183 67.563141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17927245-1.17919927) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dl = 466.229780000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17927245-1.17919927) × R
    7.3180000000006e-05 × 6371000     		dr = 466.229780000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00318716--2.00299541) × cos(1.17927245) × R
    0.000191749999999935 × 0.381597420594589 × 6371000     		do = 466.17438669695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00318716--2.00299541) × cos(1.17919927) × R
    0.000191749999999935 × 0.381665061941582 × 6371000     		du = 466.25702002136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17927245)-sin(1.17919927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381597420594589-0.381665061941582)×R²
    abs(-2.00299541--2.00318716)×6.76413469938297e-05×R²
    0.000191749999999935×6.76413469938297e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.76413469938297e-05×40589641000000     		ar = 217363.64490641m²