Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59366 / 45422
↖ ↑ ↗
← N 48.257598°
W 16.946411°		 ← 203.35 m → N 48.257598°
W 16.943664°		 →
↑
203.30 m
↓
↑
203.30 m
↓
N 48.255770°
W 16.946411°		 ← 203.35 m →
41 341 m²		 N 48.255770°
W 16.943664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452930450439453 y=0.346546173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452930450439453 × 217)
    floor (0.452930450439453 × 131072)
    floor (59366.5)     		tx = 59366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346546173095703 × 217)
    floor (0.346546173095703 × 131072)
    floor (45422.5)     		ty = 45422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59366 / 45422 ti = "17/59366/45422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59366/45422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59366 ÷ 217
    59366 ÷ 131072     		x = 0.452926635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45422 ÷ 217
    45422 ÷ 131072     		y = 0.346542358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452926635742188 × 2 - 1) × π
    -0.094146728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29577067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346542358398438 × 2 - 1) × π
    0.306915283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.964202798957809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29577067} λ = -0.29577067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.964202798957809))-π/2
    2×atan(2.62269600686271)-π/2
    2×1.20652515510789-π/2
    2.41305031021579-1.57079632675     		φ = 0.84225398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29577067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.946411°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84225398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.257598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59366 KachelY 45422 -0.29577067 0.84225398 -16.946411 48.257598
    Oben rechts KachelX + 1 59367 KachelY 45422 -0.29572273 0.84225398 -16.943664 48.257598
    Unten links KachelX 59366 KachelY + 1 45423 -0.29577067 0.84222207 -16.946411 48.255770
    Unten rechts KachelX + 1 59367 KachelY + 1 45423 -0.29572273 0.84222207 -16.943664 48.255770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84225398-0.84222207) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dl = 203.298609999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84225398-0.84222207) × R
    3.19099999999128e-05 × 6371000     		dr = 203.298609999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29577067--0.29572273) × cos(0.84225398) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665782721065953 × 6371000     		do = 203.347180260884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29577067--0.29572273) × cos(0.84222207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665806530235473 × 6371000     		du = 203.354452194104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84225398)-sin(0.84222207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665782721065953-0.665806530235473)×R²
    abs(-0.29572273--0.29577067)×2.38091695192733e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38091695192733e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38091695192733e-05×40589641000000     		ar = 41340.9382848595m²