Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5936 / 7952
↖ ↑ ↗
← N 67.542167°
W114.785156°		 ← 466.67 m → N 67.542167°
W114.774170°		 →
↑
466.68 m
↓
↑
466.68 m
↓
N 67.537970°
W114.785156°		 ← 466.75 m →
217 803 m²		 N 67.537970°
W114.774170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7952 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.181167602539062 y=0.242691040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.181167602539062 × 215)
    floor (0.181167602539062 × 32768)
    floor (5936.5)     		tx = 5936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.242691040039062 × 215)
    floor (0.242691040039062 × 32768)
    floor (7952.5)     		ty = 7952
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5936 / 7952 ti = "15/5936/7952"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5936/7952.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5936 ÷ 215
    5936 ÷ 32768     		x = 0.18115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7952 ÷ 215
    7952 ÷ 32768     		y = 0.24267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.18115234375 × 2 - 1) × π
    -0.6376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.00337891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24267578125 × 2 - 1) × π
    0.5146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.61681575038525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.00337891} λ = -2.00337891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.61681575038525))-π/2
    2×atan(5.03702560626779)-π/2
    2×1.3748147597102-π/2
    2.7496295194204-1.57079632675     		φ = 1.17883319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.00337891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -114.785156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17883319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.542167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5936 KachelY 7952 -2.00337891 1.17883319 -114.785156 67.542167
    Oben rechts KachelX + 1 5937 KachelY 7952 -2.00318716 1.17883319 -114.774170 67.542167
    Unten links KachelX 5936 KachelY + 1 7953 -2.00337891 1.17875994 -114.785156 67.537970
    Unten rechts KachelX + 1 5937 KachelY + 1 7953 -2.00318716 1.17875994 -114.774170 67.537970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17883319-1.17875994) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dl = 466.675750000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17883319-1.17875994) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dr = 466.675750000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.00337891--2.00318716) × cos(1.17883319) × R
    0.000191749999999935 × 0.382003404359244 × 6371000     		do = 466.670352398715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.00337891--2.00318716) × cos(1.17875994) × R
    0.000191749999999935 × 0.382071098121464 × 6371000     		du = 466.753049755624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17883319)-sin(1.17875994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382003404359244-0.382071098121464)×R²
    abs(-2.00318716--2.00337891)×6.76937622205998e-05×R²
    0.000191749999999935×6.76937622205998e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.76937622205998e-05×40589641000000     		ar = 217803.033231599m²