Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 5936 / 6960
↖ ↑ ↗
← N 26.115986°
W 49.570312°		 ← 2 193.77 m → N 26.115986°
W 49.548340°		 →
↑
2 193.98 m
↓
↑
2 193.98 m
↓
N 26.096255°
W 49.570312°		 ← 2 194.14 m →
4 813 506 m²		 N 26.096255°
W 49.548340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.362335205078125 y=0.424835205078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.362335205078125 × 214)
    floor (0.362335205078125 × 16384)
    floor (5936.5)     		tx = 5936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424835205078125 × 214)
    floor (0.424835205078125 × 16384)
    floor (6960.5)     		ty = 6960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5936 / 6960 ti = "14/5936/6960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5936/6960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5936 ÷ 214
    5936 ÷ 16384     		x = 0.3623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6960 ÷ 214
    6960 ÷ 16384     		y = 0.4248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3623046875 × 2 - 1) × π
    -0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    0.150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.472466082655273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.86516516} λ = -0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.472466082655273))-π/2
    2×atan(1.60394478038089)-π/2
    2×1.01330313429217-π/2
    2.02660626858434-1.57079632675     		φ = 0.45580994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45580994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.115986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5936 KachelY 6960 -0.86516516 0.45580994 -49.570312 26.115986
    Oben rechts KachelX + 1 5937 KachelY 6960 -0.86478167 0.45580994 -49.548340 26.115986
    Unten links KachelX 5936 KachelY + 1 6961 -0.86516516 0.45546557 -49.570312 26.096255
    Unten rechts KachelX + 1 5937 KachelY + 1 6961 -0.86478167 0.45546557 -49.548340 26.096255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45580994-0.45546557) × R
    0.000344370000000038 × 6371000     		dl = 2193.98127000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45580994-0.45546557) × R
    0.000344370000000038 × 6371000     		dr = 2193.98127000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.86516516--0.86478167) × cos(0.45580994) × R
    0.000383490000000042 × 0.897904795480173 × 6371000     		do = 2193.77427632932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.86516516--0.86478167) × cos(0.45546557) × R
    0.000383490000000042 × 0.89805633036504 × 6371000     		du = 2194.14450860123m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45580994)-sin(0.45546557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897904795480173-0.89805633036504)×R²
    abs(-0.86478167--0.86516516)×0.000151534884867299×R²
    0.000383490000000042×0.000151534884867299×6371000²
    0.000383490000000042×0.000151534884867299×40589641000000     		ar = 4813505.86177944m²