Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59357 / 33485
↖ ↑ ↗
← N 65.715947°
W 16.971130°		 ← 125.58 m → N 65.715947°
W 16.968384°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 65.714817°
W 16.971130°		 ← 125.59 m →
15 778 m²		 N 65.714817°
W 16.968384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452861785888672 y=0.255474090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452861785888672 × 217)
    floor (0.452861785888672 × 131072)
    floor (59357.5)     		tx = 59357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255474090576172 × 217)
    floor (0.255474090576172 × 131072)
    floor (33485.5)     		ty = 33485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59357 / 33485 ti = "17/59357/33485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59357/33485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59357 ÷ 217
    59357 ÷ 131072     		x = 0.452857971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33485 ÷ 217
    33485 ÷ 131072     		y = 0.255470275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452857971191406 × 2 - 1) × π
    -0.0942840576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29620210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255470275878906 × 2 - 1) × π
    0.489059448242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.53642556972242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29620210} λ = -0.29620210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53642556972242))-π/2
    2×atan(4.64794678150789)-π/2
    2×1.3588779809764-π/2
    2.71775596195281-1.57079632675     		φ = 1.14695964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29620210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.971130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14695964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.715947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59357 KachelY 33485 -0.29620210 1.14695964 -16.971130 65.715947
    Oben rechts KachelX + 1 59358 KachelY 33485 -0.29615417 1.14695964 -16.968384 65.715947
    Unten links KachelX 59357 KachelY + 1 33486 -0.29620210 1.14693992 -16.971130 65.714817
    Unten rechts KachelX + 1 59358 KachelY + 1 33486 -0.29615417 1.14693992 -16.968384 65.714817
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14695964-1.14693992) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14695964-1.14693992) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29620210--0.29615417) × cos(1.14695964) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411260679597728 × 6371000     		do = 125.583395981219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29620210--0.29615417) × cos(1.14693992) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411278654648277 × 6371000     		du = 125.588884879144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14695964)-sin(1.14693992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411260679597728-0.411278654648277)×R²
    abs(-0.29615417--0.29620210)×1.79750505489018e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79750505489018e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79750505489018e-05×40589641000000     		ar = 15778.1554100323m²