Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59355 / 45549
↖ ↑ ↗
← N 48.024835°
W 16.976624°		 ← 204.27 m → N 48.024835°
W 16.973877°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 48.022998°
W 16.976624°		 ← 204.28 m →
41 724 m²		 N 48.022998°
W 16.973877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452846527099609 y=0.347515106201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452846527099609 × 217)
    floor (0.452846527099609 × 131072)
    floor (59355.5)     		tx = 59355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347515106201172 × 217)
    floor (0.347515106201172 × 131072)
    floor (45549.5)     		ty = 45549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59355 / 45549 ti = "17/59355/45549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59355/45549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59355 ÷ 217
    59355 ÷ 131072     		x = 0.452842712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45549 ÷ 217
    45549 ÷ 131072     		y = 0.347511291503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452842712402344 × 2 - 1) × π
    -0.0943145751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29629798
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347511291503906 × 2 - 1) × π
    0.304977416992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.958114812706062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29629798} λ = -0.29629798}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958114812706062))-π/2
    2×atan(2.60677757439556)-π/2
    2×1.20449391266603-π/2
    2.40898782533206-1.57079632675     		φ = 0.83819150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29629798} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.976624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83819150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.024835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59355 KachelY 45549 -0.29629798 0.83819150 -16.976624 48.024835
    Oben rechts KachelX + 1 59356 KachelY 45549 -0.29625004 0.83819150 -16.973877 48.024835
    Unten links KachelX 59355 KachelY + 1 45550 -0.29629798 0.83815944 -16.976624 48.022998
    Unten rechts KachelX + 1 59356 KachelY + 1 45550 -0.29625004 0.83815944 -16.973877 48.022998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83819150-0.83815944) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83819150-0.83815944) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29629798--0.29625004) × cos(0.83819150) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668808420663907 × 6371000     		do = 204.271306799608m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29629798--0.29625004) × cos(0.83815944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668832254839759 × 6371000     		du = 204.278586370404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83819150)-sin(0.83815944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668808420663907-0.668832254839759)×R²
    abs(-0.29625004--0.29629798)×2.38341758521665e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38341758521665e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38341758521665e-05×40589641000000     		ar = 41724.0280547185m²