Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59354 / 82392
↖ ↑ ↗
← S 41.951320°
W 16.979370°		 ← 227.10 m → S 41.951320°
W 16.976624°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.953363°
W 16.979370°		 ← 227.09 m →
51 580 m²		 S 41.953363°
W 16.976624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59354 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452838897705078 y=0.628604888916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452838897705078 × 217)
    floor (0.452838897705078 × 131072)
    floor (59354.5)     		tx = 59354
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628604888916016 × 217)
    floor (0.628604888916016 × 131072)
    floor (82392.5)     		ty = 82392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59354 / 82392 ti = "17/59354/82392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59354/82392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59354 ÷ 217
    59354 ÷ 131072     		x = 0.452835083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82392 ÷ 217
    82392 ÷ 131072     		y = 0.62860107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452835083007812 × 2 - 1) × π
    -0.094329833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29634591
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62860107421875 × 2 - 1) × π
    -0.2572021484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.808024379995667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29634591} λ = -0.29634591}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808024379995667))-π/2
    2×atan(0.445737805446724)-π/2
    2×0.419303834091447-π/2
    0.838607668182893-1.57079632675     		φ = -0.73218866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29634591} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.979370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73218866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.951320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59354 KachelY 82392 -0.29634591 -0.73218866 -16.979370 -41.951320
    Oben rechts KachelX + 1 59355 KachelY 82392 -0.29629798 -0.73218866 -16.976624 -41.951320
    Unten links KachelX 59354 KachelY + 1 82393 -0.29634591 -0.73222431 -16.979370 -41.953363
    Unten rechts KachelX + 1 59355 KachelY + 1 82393 -0.29629798 -0.73222431 -16.976624 -41.953363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73218866--0.73222431) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dl = 227.126149999635m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73218866--0.73222431) × R
    3.56499999999427e-05 × 6371000     		dr = 227.126149999635m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29634591--0.29629798) × cos(-0.73218866) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.743713067836144 × 6371000     		do = 227.101732131849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29634591--0.29629798) × cos(-0.73222431) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.743689235375272 × 6371000     		du = 227.094454603217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73218866)-sin(-0.73222431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743713067836144-0.743689235375272)×R²
    abs(-0.29629798--0.29634591)×2.38324608720086e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38324608720086e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38324608720086e-05×40589641000000     		ar = 51579.9156242489m²