Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59353 / 60170
↖ ↑ ↗
← S 81.731092°
E146.035766°		 ← 87.85 m → S 81.731092°
E146.041260°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
S 81.731882°
E146.035766°		 ← 87.84 m →
7 718 m²		 S 81.731882°
E146.041260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905662536621094 y=0.918128967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905662536621094 × 216)
    floor (0.905662536621094 × 65536)
    floor (59353.5)     		tx = 59353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918128967285156 × 216)
    floor (0.918128967285156 × 65536)
    floor (60170.5)     		ty = 60170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59353 / 60170 ti = "16/59353/60170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59353/60170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59353 ÷ 216
    59353 ÷ 65536     		x = 0.905654907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60170 ÷ 216
    60170 ÷ 65536     		y = 0.918121337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905654907226562 × 2 - 1) × π
    0.811309814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54880495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.83624267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62713384677756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54880495} λ = 2.54880495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62713384677756))-π/2
    2×atan(0.0722853464949425)-π/2
    2×0.0721598386342377-π/2
    0.144319677268475-1.57079632675     		φ = -1.42647665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54880495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.035766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42647665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.731092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59353 KachelY 60170 2.54880495 -1.42647665 146.035766 -81.731092
    Oben rechts KachelX + 1 59354 KachelY 60170 2.54890083 -1.42647665 146.041260 -81.731092
    Unten links KachelX 59353 KachelY + 1 60171 2.54880495 -1.42649044 146.035766 -81.731882
    Unten rechts KachelX + 1 59354 KachelY + 1 60171 2.54890083 -1.42649044 146.041260 -81.731882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42647665--1.42649044) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dl = 87.8560900007934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42647665--1.42649044) × R
    1.37900000001245e-05 × 6371000     		dr = 87.8560900007934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54880495-2.54890083) × cos(-1.42647665) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143819212494692 × 6371000     		do = 87.8521788047592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54880495-2.54890083) × cos(-1.42649044) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		du = 87.8438427268601m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42647665)-sin(-1.42649044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143819212494692-0.143805565842155)×R²
    abs(2.54890083-2.54880495)×1.36466525368084e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36466525368084e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36466525368084e-05×40589641000000     		ar = 7717.9827405027m²