Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59353 / 45682
↖ ↑ ↗
← N 47.779943°
W 16.982117°		 ← 205.24 m → N 47.779943°
W 16.979370°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 47.778098°
W 16.982117°		 ← 205.25 m →
42 118 m²		 N 47.778098°
W 16.979370°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59353 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45682 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452831268310547 y=0.348529815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452831268310547 × 217)
    floor (0.452831268310547 × 131072)
    floor (59353.5)     		tx = 59353
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348529815673828 × 217)
    floor (0.348529815673828 × 131072)
    floor (45682.5)     		ty = 45682
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59353 / 45682 ti = "17/59353/45682"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59353/45682.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59353 ÷ 217
    59353 ÷ 131072     		x = 0.452827453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45682 ÷ 217
    45682 ÷ 131072     		y = 0.348526000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452827453613281 × 2 - 1) × π
    -0.0943450927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29639385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348526000976562 × 2 - 1) × π
    0.302947998046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.951739205056595
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29639385} λ = -0.29639385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951739205056595))-π/2
    2×atan(2.5902106515699)-π/2
    2×1.20235682837804-π/2
    2.40471365675607-1.57079632675     		φ = 0.83391733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29639385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.982117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83391733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.779943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59353 KachelY 45682 -0.29639385 0.83391733 -16.982117 47.779943
    Oben rechts KachelX + 1 59354 KachelY 45682 -0.29634591 0.83391733 -16.979370 47.779943
    Unten links KachelX 59353 KachelY + 1 45683 -0.29639385 0.83388512 -16.982117 47.778098
    Unten rechts KachelX + 1 59354 KachelY + 1 45683 -0.29634591 0.83388512 -16.979370 47.778098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83391733-0.83388512) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83391733-0.83388512) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29639385--0.29634591) × cos(0.83391733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.671979868628814 × 6371000     		do = 205.239948641161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29639385--0.29634591) × cos(0.83388512) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672003722021033 × 6371000     		du = 205.247234081131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83391733)-sin(0.83388512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671979868628814-0.672003722021033)×R²
    abs(-0.29634591--0.29639385)×2.38533922193307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38533922193307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38533922193307e-05×40589641000000     		ar = 42118.0189149798m²