Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59351 / 45685
↖ ↑ ↗
← N 47.774406°
W 16.987610°		 ← 205.22 m → N 47.774406°
W 16.984863°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
N 47.772560°
W 16.987610°		 ← 205.23 m →
42 127 m²		 N 47.772560°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45685 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452816009521484 y=0.348552703857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452816009521484 × 217)
    floor (0.452816009521484 × 131072)
    floor (59351.5)     		tx = 59351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348552703857422 × 217)
    floor (0.348552703857422 × 131072)
    floor (45685.5)     		ty = 45685
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59351 / 45685 ti = "17/59351/45685"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59351/45685.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59351 ÷ 217
    59351 ÷ 131072     		x = 0.452812194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45685 ÷ 217
    45685 ÷ 131072     		y = 0.348548889160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452812194824219 × 2 - 1) × π
    -0.0943756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29648972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348548889160156 × 2 - 1) × π
    0.302902221679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.951595394357735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29648972} λ = -0.29648972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951595394357735))-π/2
    2×atan(2.58983817834936)-π/2
    2×1.20230850685773-π/2
    2.40461701371545-1.57079632675     		φ = 0.83382069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29648972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.987610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83382069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.774406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59351 KachelY 45685 -0.29648972 0.83382069 -16.987610 47.774406
    Oben rechts KachelX + 1 59352 KachelY 45685 -0.29644179 0.83382069 -16.984863 47.774406
    Unten links KachelX 59351 KachelY + 1 45686 -0.29648972 0.83378847 -16.987610 47.772560
    Unten rechts KachelX + 1 59352 KachelY + 1 45686 -0.29644179 0.83378847 -16.984863 47.772560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83382069-0.83378847) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83382069-0.83378847) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29648972--0.29644179) × cos(0.83382069) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.672051434118912 × 6371000     		do = 205.218990187088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29648972--0.29644179) × cos(0.83378847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.67207529282409 × 6371000     		du = 205.226275729734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83382069)-sin(0.83378847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672051434118912-0.67207529282409)×R²
    abs(-0.29644179--0.29648972)×2.38587051772932e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38587051772932e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38587051772932e-05×40589641000000     		ar = 42126.7927769703m²