Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59351 / 33512
↖ ↑ ↗
← N 65.685430°
W 16.987610°		 ← 125.73 m → N 65.685430°
W 16.984863°		 →
↑
125.76 m
↓
↑
125.76 m
↓
N 65.684299°
W 16.987610°		 ← 125.74 m →
15 813 m²		 N 65.684299°
W 16.984863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33512 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452816009521484 y=0.255680084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452816009521484 × 217)
    floor (0.452816009521484 × 131072)
    floor (59351.5)     		tx = 59351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255680084228516 × 217)
    floor (0.255680084228516 × 131072)
    floor (33512.5)     		ty = 33512
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59351 / 33512 ti = "17/59351/33512"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59351/33512.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59351 ÷ 217
    59351 ÷ 131072     		x = 0.452812194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33512 ÷ 217
    33512 ÷ 131072     		y = 0.25567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452812194824219 × 2 - 1) × π
    -0.0943756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29648972
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25567626953125 × 2 - 1) × π
    0.4886474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.53513127343268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29648972} λ = -0.29648972}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.53513127343268))-π/2
    2×atan(4.64193485268152)-π/2
    2×1.35861167734209-π/2
    2.71722335468419-1.57079632675     		φ = 1.14642703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29648972} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.987610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14642703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.685430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59351 KachelY 33512 -0.29648972 1.14642703 -16.987610 65.685430
    Oben rechts KachelX + 1 59352 KachelY 33512 -0.29644179 1.14642703 -16.984863 65.685430
    Unten links KachelX 59351 KachelY + 1 33513 -0.29648972 1.14640729 -16.987610 65.684299
    Unten rechts KachelX + 1 59352 KachelY + 1 33513 -0.29644179 1.14640729 -16.984863 65.684299
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14642703-1.14640729) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dl = 125.763539999585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14642703-1.14640729) × R
    1.97399999999348e-05 × 6371000     		dr = 125.763539999585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29648972--0.29644179) × cos(1.14642703) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411746104724847 × 6371000     		do = 125.731626383449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29648972--0.29644179) × cos(1.14640729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.411764093679063 × 6371000     		du = 125.737119527026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14642703)-sin(1.14640729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411746104724847-0.411764093679063)×R²
    abs(-0.29644179--0.29648972)×1.79889542152312e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79889542152312e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79889542152312e-05×40589641000000     		ar = 15812.7998430796m²