Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59350 / 60149
↖ ↑ ↗
← S 81.714484°
E146.019287°		 ← 88.03 m → S 81.714484°
E146.024781°		 →
↑
88.05 m
↓
↑
88.05 m
↓
S 81.715276°
E146.019287°		 ← 88.02 m →
7 750 m²		 S 81.715276°
E146.024781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905616760253906 y=0.917808532714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905616760253906 × 216)
    floor (0.905616760253906 × 65536)
    floor (59350.5)     		tx = 59350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917808532714844 × 216)
    floor (0.917808532714844 × 65536)
    floor (60149.5)     		ty = 60149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59350 / 60149 ti = "16/59350/60149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59350/60149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59350 ÷ 216
    59350 ÷ 65536     		x = 0.905609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60149 ÷ 216
    60149 ÷ 65536     		y = 0.917800903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.81121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54851733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917800903320312 × 2 - 1) × π
    -0.835601806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62512049699352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54851733} λ = 2.54851733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62512049699352))-π/2
    2×atan(0.0724310287871922)-π/2
    2×0.0723047621491288-π/2
    0.144609524298258-1.57079632675     		φ = -1.42618680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54851733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42618680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.714484°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59350 KachelY 60149 2.54851733 -1.42618680 146.019287 -81.714484
    Oben rechts KachelX + 1 59351 KachelY 60149 2.54861321 -1.42618680 146.024781 -81.714484
    Unten links KachelX 59350 KachelY + 1 60150 2.54851733 -1.42620062 146.019287 -81.715276
    Unten rechts KachelX + 1 59351 KachelY + 1 60150 2.54861321 -1.42620062 146.024781 -81.715276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42618680--1.42620062) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dl = 88.0472199996318m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42618680--1.42620062) × R
    1.38199999999422e-05 × 6371000     		dr = 88.0472199996318m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54851733-2.54861321) × cos(-1.42618680) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144106043162479 × 6371000     		do = 88.0273897426863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54851733-2.54861321) × cos(-1.42620062) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144092367398411 × 6371000     		du = 88.0190358819653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42618680)-sin(-1.42620062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144106043162479-0.144092367398411)×R²
    abs(2.54861321-2.54851733)×1.36757640679386e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36757640679386e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36757640679386e-05×40589641000000     		ar = 7750.19918361219m²