Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59350 / 60148
↖ ↑ ↗
← S 81.713693°
E146.019287°		 ← 88.04 m → S 81.713693°
E146.024781°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
S 81.714484°
E146.019287°		 ← 88.03 m →
7 745 m²		 S 81.714484°
E146.024781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905616760253906 y=0.917793273925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905616760253906 × 216)
    floor (0.905616760253906 × 65536)
    floor (59350.5)     		tx = 59350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917793273925781 × 216)
    floor (0.917793273925781 × 65536)
    floor (60148.5)     		ty = 60148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59350 / 60148 ti = "16/59350/60148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59350/60148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59350 ÷ 216
    59350 ÷ 65536     		x = 0.905609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60148 ÷ 216
    60148 ÷ 65536     		y = 0.91778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905609130859375 × 2 - 1) × π
    0.81121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54851733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91778564453125 × 2 - 1) × π
    -0.8355712890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62502462319428
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54851733} λ = 2.54851733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62502462319428))-π/2
    2×atan(0.0724379733580008)-π/2
    2×0.0723116704736377-π/2
    0.144623340947275-1.57079632675     		φ = -1.42617299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54851733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.019287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42617299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.713693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59350 KachelY 60148 2.54851733 -1.42617299 146.019287 -81.713693
    Oben rechts KachelX + 1 59351 KachelY 60148 2.54861321 -1.42617299 146.024781 -81.713693
    Unten links KachelX 59350 KachelY + 1 60149 2.54851733 -1.42618680 146.019287 -81.714484
    Unten rechts KachelX + 1 59351 KachelY + 1 60149 2.54861321 -1.42618680 146.024781 -81.714484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42617299--1.42618680) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42617299--1.42618680) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54851733-2.54861321) × cos(-1.42617299) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144119709003421 × 6371000     		do = 88.0357375418513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54851733-2.54861321) × cos(-1.42618680) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144106043162479 × 6371000     		du = 88.0273897426863m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42617299)-sin(-1.42618680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144119709003421-0.144106043162479)×R²
    abs(2.54861321-2.54851733)×1.36658409422563e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36658409422563e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36658409422563e-05×40589641000000     		ar = 7745.32596019466m²