Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59350 / 45687
↖ ↑ ↗
← N 47.770714°
W 16.990356°		 ← 205.28 m → N 47.770714°
W 16.987610°		 →
↑
205.27 m
↓
↑
205.27 m
↓
N 47.768868°
W 16.990356°		 ← 205.28 m →
42 139 m²		 N 47.768868°
W 16.987610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452808380126953 y=0.348567962646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452808380126953 × 217)
    floor (0.452808380126953 × 131072)
    floor (59350.5)     		tx = 59350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348567962646484 × 217)
    floor (0.348567962646484 × 131072)
    floor (45687.5)     		ty = 45687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59350 / 45687 ti = "17/59350/45687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59350/45687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59350 ÷ 217
    59350 ÷ 131072     		x = 0.452804565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45687 ÷ 217
    45687 ÷ 131072     		y = 0.348564147949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452804565429688 × 2 - 1) × π
    -0.094390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29653766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348564147949219 × 2 - 1) × π
    0.302871704101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.951499520558495
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29653766} λ = -0.29653766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951499520558495))-π/2
    2×atan(2.58958989262602)-π/2
    2×1.20227628965189-π/2
    2.40455257930377-1.57079632675     		φ = 0.83375625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29653766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.990356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83375625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.770714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59350 KachelY 45687 -0.29653766 0.83375625 -16.990356 47.770714
    Oben rechts KachelX + 1 59351 KachelY 45687 -0.29648972 0.83375625 -16.987610 47.770714
    Unten links KachelX 59350 KachelY + 1 45688 -0.29653766 0.83372403 -16.990356 47.768868
    Unten rechts KachelX + 1 59351 KachelY + 1 45688 -0.29648972 0.83372403 -16.987610 47.768868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83375625-0.83372403) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dl = 205.273620000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83375625-0.83372403) × R
    3.22200000000272e-05 × 6371000     		dr = 205.273620000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29653766--0.29648972) × cos(0.83375625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672099150831567 × 6371000     		do = 205.276380495968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29653766--0.29648972) × cos(0.83372403) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672123008141318 × 6371000     		du = 205.283667132454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83375625)-sin(0.83372403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672099150831567-0.672123008141318)×R²
    abs(-0.29648972--0.29653766)×2.38573097516293e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38573097516293e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38573097516293e-05×40589641000000     		ar = 42138.5736058647m²