Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59350 / 45550
↖ ↑ ↗
← N 48.022998°
W 16.990356°		 ← 204.28 m → N 48.022998°
W 16.987610°		 →
↑
204.25 m
↓
↑
204.25 m
↓
N 48.021162°
W 16.990356°		 ← 204.29 m →
41 726 m²		 N 48.021162°
W 16.987610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45550 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452808380126953 y=0.347522735595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452808380126953 × 217)
    floor (0.452808380126953 × 131072)
    floor (59350.5)     		tx = 59350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347522735595703 × 217)
    floor (0.347522735595703 × 131072)
    floor (45550.5)     		ty = 45550
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59350 / 45550 ti = "17/59350/45550"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59350/45550.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59350 ÷ 217
    59350 ÷ 131072     		x = 0.452804565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45550 ÷ 217
    45550 ÷ 131072     		y = 0.347518920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452804565429688 × 2 - 1) × π
    -0.094390869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29653766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347518920898438 × 2 - 1) × π
    0.304962158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958066875806442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29653766} λ = -0.29653766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958066875806442))-π/2
    2×atan(2.60665261655571)-π/2
    2×1.2044778820793-π/2
    2.40895576415859-1.57079632675     		φ = 0.83815944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29653766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.990356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83815944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.022998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59350 KachelY 45550 -0.29653766 0.83815944 -16.990356 48.022998
    Oben rechts KachelX + 1 59351 KachelY 45550 -0.29648972 0.83815944 -16.987610 48.022998
    Unten links KachelX 59350 KachelY + 1 45551 -0.29653766 0.83812738 -16.990356 48.021162
    Unten rechts KachelX + 1 59351 KachelY + 1 45551 -0.29648972 0.83812738 -16.987610 48.021162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83815944-0.83812738) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dl = 204.254260000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83815944-0.83812738) × R
    3.20600000000004e-05 × 6371000     		dr = 204.254260000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29653766--0.29648972) × cos(0.83815944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668832254839759 × 6371000     		do = 204.278586370168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29653766--0.29648972) × cos(0.83812738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668856088328156 × 6371000     		du = 204.285865730998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83815944)-sin(0.83812738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668832254839759-0.668856088328156)×R²
    abs(-0.29648972--0.29653766)×2.38334883972957e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38334883972957e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38334883972957e-05×40589641000000     		ar = 41725.5149167972m²