Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59348 / 60140
↖ ↑ ↗
← S 81.707357°
E146.008301°		 ← 88.10 m → S 81.707357°
E146.013794°		 →
↑
88.05 m
↓
↑
88.05 m
↓
S 81.708149°
E146.008301°		 ← 88.09 m →
7 757 m²		 S 81.708149°
E146.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905586242675781 y=0.917671203613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905586242675781 × 216)
    floor (0.905586242675781 × 65536)
    floor (59348.5)     		tx = 59348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917671203613281 × 216)
    floor (0.917671203613281 × 65536)
    floor (60140.5)     		ty = 60140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59348 / 60140 ti = "16/59348/60140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59348/60140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59348 ÷ 216
    59348 ÷ 65536     		x = 0.90557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60140 ÷ 216
    60140 ÷ 65536     		y = 0.91766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54832558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.8353271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62425763280035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54832558} λ = 2.54832558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62425763280035))-π/2
    2×atan(0.0724935538998676)-π/2
    2×0.0723669606708027-π/2
    0.144733921341605-1.57079632675     		φ = -1.42606241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54832558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42606241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.707357°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59348 KachelY 60140 2.54832558 -1.42606241 146.008301 -81.707357
    Oben rechts KachelX + 1 59349 KachelY 60140 2.54842146 -1.42606241 146.013794 -81.707357
    Unten links KachelX 59348 KachelY + 1 60141 2.54832558 -1.42607623 146.008301 -81.708149
    Unten rechts KachelX + 1 59349 KachelY + 1 60141 2.54842146 -1.42607623 146.013794 -81.708149
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42606241--1.42607623) × R
    1.38200000001643e-05 × 6371000     		dl = 88.0472200010465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42606241--1.42607623) × R
    1.38200000001643e-05 × 6371000     		dr = 88.0472200010465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54832558-2.54842146) × cos(-1.42606241) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144229133695678 × 6371000     		do = 88.1025797770653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54832558-2.54842146) × cos(-1.42607623) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144215458179433 × 6371000     		du = 88.0942260677268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42606241)-sin(-1.42607623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144229133695678-0.144215458179433)×R²
    abs(2.54842146-2.54832558)×1.36755162457591e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36755162457591e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36755162457591e-05×40589641000000     		ar = 7756.81946391518m²