Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59348 / 60124
↖ ↑ ↗
← S 81.694671°
E146.008301°		 ← 88.24 m → S 81.694671°
E146.013794°		 →
↑
88.24 m
↓
↑
88.24 m
↓
S 81.695465°
E146.008301°		 ← 88.23 m →
7 785 m²		 S 81.695465°
E146.013794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905586242675781 y=0.917427062988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905586242675781 × 216)
    floor (0.905586242675781 × 65536)
    floor (59348.5)     		tx = 59348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917427062988281 × 216)
    floor (0.917427062988281 × 65536)
    floor (60124.5)     		ty = 60124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59348 / 60124 ti = "16/59348/60124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59348/60124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59348 ÷ 216
    59348 ÷ 65536     		x = 0.90557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60124 ÷ 216
    60124 ÷ 65536     		y = 0.91741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90557861328125 × 2 - 1) × π
    0.8111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54832558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.8348388671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62272365201251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54832558} λ = 2.54832558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62272365201251))-π/2
    2×atan(0.0726048429546055)-π/2
    2×0.0724776670350795-π/2
    0.144955334070159-1.57079632675     		φ = -1.42584099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54832558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.008301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42584099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.694671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59348 KachelY 60124 2.54832558 -1.42584099 146.008301 -81.694671
    Oben rechts KachelX + 1 59349 KachelY 60124 2.54842146 -1.42584099 146.013794 -81.694671
    Unten links KachelX 59348 KachelY + 1 60125 2.54832558 -1.42585484 146.008301 -81.695465
    Unten rechts KachelX + 1 59349 KachelY + 1 60125 2.54842146 -1.42585484 146.013794 -81.695465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42584099--1.42585484) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dl = 88.2383499998849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42584099--1.42585484) × R
    1.38499999999819e-05 × 6371000     		dr = 88.2383499998849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54832558-2.54842146) × cos(-1.42584099) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144448235061199 × 6371000     		do = 88.2364181704636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54832558-2.54842146) × cos(-1.42585484) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.144434530301182 × 6371000     		du = 88.228046597524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42584099)-sin(-1.42585484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144448235061199-0.144434530301182)×R²
    abs(2.54842146-2.54832558)×1.37047600173024e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.37047600173024e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.37047600173024e-05×40589641000000     		ar = 7785.4666023841m²