Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59347 / 59859
↖ ↑ ↗
← S 81.481735°
E146.002808°		 ← 90.47 m → S 81.481735°
E146.008301°		 →
↑
90.47 m
↓
↑
90.47 m
↓
S 81.482548°
E146.002808°		 ← 90.46 m →
8 185 m²		 S 81.482548°
E146.008301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905570983886719 y=0.913383483886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905570983886719 × 216)
    floor (0.905570983886719 × 65536)
    floor (59347.5)     		tx = 59347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913383483886719 × 216)
    floor (0.913383483886719 × 65536)
    floor (59859.5)     		ty = 59859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59347 / 59859 ti = "16/59347/59859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59347/59859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59347 ÷ 216
    59347 ÷ 65536     		x = 0.905563354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59859 ÷ 216
    59859 ÷ 65536     		y = 0.913375854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905563354492188 × 2 - 1) × π
    0.811126708984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54822971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913375854492188 × 2 - 1) × π
    -0.826751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59731709521388
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54822971} λ = 2.54822971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59731709521388))-π/2
    2×atan(0.0744731147018176)-π/2
    2×0.0743358890234566-π/2
    0.148671778046913-1.57079632675     		φ = -1.42212455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54822971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.002808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42212455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.481735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59347 KachelY 59859 2.54822971 -1.42212455 146.002808 -81.481735
    Oben rechts KachelX + 1 59348 KachelY 59859 2.54832558 -1.42212455 146.008301 -81.481735
    Unten links KachelX 59347 KachelY + 1 59860 2.54822971 -1.42213875 146.002808 -81.482548
    Unten rechts KachelX + 1 59348 KachelY + 1 59860 2.54832558 -1.42213875 146.008301 -81.482548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42212455--1.42213875) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dl = 90.4682000004795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42212455--1.42213875) × R
    1.42000000000753e-05 × 6371000     		dr = 90.4682000004795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54822971-2.54832558) × cos(-1.42212455) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148124692351871 × 6371000     		do = 90.4727505235334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54822971-2.54832558) × cos(-1.42213875) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.148110648981498 × 6371000     		du = 90.4641730046602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42212455)-sin(-1.42213875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148124692351871-0.148110648981498)×R²
    abs(2.54832558-2.54822971)×1.40433703725851e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.40433703725851e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.40433703725851e-05×40589641000000     		ar = 8184.51889283898m²