Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59346 / 45534
↖ ↑ ↗
← N 48.052382°
W 17.001343°		 ← 204.16 m → N 48.052382°
W 16.998596°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.050546°
W 17.001343°		 ← 204.17 m →
41 676 m²		 N 48.050546°
W 16.998596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452777862548828 y=0.347400665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452777862548828 × 217)
    floor (0.452777862548828 × 131072)
    floor (59346.5)     		tx = 59346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347400665283203 × 217)
    floor (0.347400665283203 × 131072)
    floor (45534.5)     		ty = 45534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59346 / 45534 ti = "17/59346/45534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59346/45534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59346 ÷ 217
    59346 ÷ 131072     		x = 0.452774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45534 ÷ 217
    45534 ÷ 131072     		y = 0.347396850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452774047851562 × 2 - 1) × π
    -0.094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29672941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347396850585938 × 2 - 1) × π
    0.305206298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.958833866200363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29672941} λ = -0.29672941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958833866200363))-π/2
    2×atan(2.60865266098228)-π/2
    2×1.20473430291475-π/2
    2.40946860582949-1.57079632675     		φ = 0.83867228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29672941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83867228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.052382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59346 KachelY 45534 -0.29672941 0.83867228 -17.001343 48.052382
    Oben rechts KachelX + 1 59347 KachelY 45534 -0.29668147 0.83867228 -16.998596 48.052382
    Unten links KachelX 59346 KachelY + 1 45535 -0.29672941 0.83864024 -17.001343 48.050546
    Unten rechts KachelX + 1 59347 KachelY + 1 45535 -0.29668147 0.83864024 -16.998596 48.050546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83867228-0.83864024) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83867228-0.83864024) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29672941--0.29668147) × cos(0.83867228) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668450914798945 × 6371000     		do = 204.162115306247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29672941--0.29668147) × cos(0.83864024) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.668474744406413 × 6371000     		du = 204.169393481742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83867228)-sin(0.83864024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668450914798945-0.668474744406413)×R²
    abs(-0.29668147--0.29672941)×2.38296074679401e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38296074679401e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38296074679401e-05×40589641000000     		ar = 41675.7102841528m²