Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59346 / 45493
↖ ↑ ↗
← N 48.127601°
W 17.001343°		 ← 203.86 m → N 48.127601°
W 16.998596°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
N 48.125768°
W 17.001343°		 ← 203.87 m →
41 563 m²		 N 48.125768°
W 16.998596°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452777862548828 y=0.347087860107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452777862548828 × 217)
    floor (0.452777862548828 × 131072)
    floor (59346.5)     		tx = 59346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347087860107422 × 217)
    floor (0.347087860107422 × 131072)
    floor (45493.5)     		ty = 45493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59346 / 45493 ti = "17/59346/45493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59346/45493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59346 ÷ 217
    59346 ÷ 131072     		x = 0.452774047851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45493 ÷ 217
    45493 ÷ 131072     		y = 0.347084045410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452774047851562 × 2 - 1) × π
    -0.094451904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29672941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347084045410156 × 2 - 1) × π
    0.305831909179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.960799279084785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29672941} λ = -0.29672941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960799279084785))-π/2
    2×atan(2.61378478224974)-π/2
    2×1.20539071386321-π/2
    2.41078142772642-1.57079632675     		φ = 0.83998510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29672941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.001343°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83998510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.127601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59346 KachelY 45493 -0.29672941 0.83998510 -17.001343 48.127601
    Oben rechts KachelX + 1 59347 KachelY 45493 -0.29668147 0.83998510 -16.998596 48.127601
    Unten links KachelX 59346 KachelY + 1 45494 -0.29672941 0.83995310 -17.001343 48.125768
    Unten rechts KachelX + 1 59347 KachelY + 1 45494 -0.29668147 0.83995310 -16.998596 48.125768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83998510-0.83995310) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83998510-0.83995310) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29672941--0.29668147) × cos(0.83998510) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667473920949703 × 6371000     		do = 203.863716236867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29672941--0.29668147) × cos(0.83995310) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.667497748869543 × 6371000     		du = 203.870993896917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83998510)-sin(0.83995310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667473920949703-0.667497748869543)×R²
    abs(-0.29668147--0.29672941)×2.38279198394586e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38279198394586e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38279198394586e-05×40589641000000     		ar = 41562.8454156669m²