Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59345 / 82803
↖ ↑ ↗
← S 42.785323°
W 17.004090°		 ← 224.15 m → S 42.785323°
W 17.001343°		 →
↑
224.20 m
↓
↑
224.20 m
↓
S 42.787339°
W 17.004090°		 ← 224.15 m →
50 253 m²		 S 42.787339°
W 17.001343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452770233154297 y=0.631740570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452770233154297 × 217)
    floor (0.452770233154297 × 131072)
    floor (59345.5)     		tx = 59345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.631740570068359 × 217)
    floor (0.631740570068359 × 131072)
    floor (82803.5)     		ty = 82803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59345 / 82803 ti = "17/59345/82803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59345/82803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59345 ÷ 217
    59345 ÷ 131072     		x = 0.452766418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82803 ÷ 217
    82803 ÷ 131072     		y = 0.631736755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452766418457031 × 2 - 1) × π
    -0.0944671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29677735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.631736755371094 × 2 - 1) × π
    -0.263473510742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.82772644573951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29677735} λ = -0.29677735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.82772644573951))-π/2
    2×atan(0.437041795868863)-π/2
    2×0.412025785886307-π/2
    0.824051571772615-1.57079632675     		φ = -0.74674475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29677735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.004090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74674475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.785323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59345 KachelY 82803 -0.29677735 -0.74674475 -17.004090 -42.785323
    Oben rechts KachelX + 1 59346 KachelY 82803 -0.29672941 -0.74674475 -17.001343 -42.785323
    Unten links KachelX 59345 KachelY + 1 82804 -0.29677735 -0.74677994 -17.004090 -42.787339
    Unten rechts KachelX + 1 59346 KachelY + 1 82804 -0.29672941 -0.74677994 -17.001343 -42.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74674475--0.74677994) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dl = 224.19549000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74674475--0.74677994) × R
    3.51900000000738e-05 × 6371000     		dr = 224.19549000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29677735--0.29672941) × cos(-0.74674475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733903892805622 × 6371000     		do = 224.153139548891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29677735--0.29672941) × cos(-0.74677994) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.733879989426798 × 6371000     		du = 224.145838841725m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74674475)-sin(-0.74677994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.733903892805622-0.733879989426798)×R²
    abs(-0.29672941--0.29677735)×2.39033788236309e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39033788236309e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39033788236309e-05×40589641000000     		ar = 50253.3045686959m²