Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59345 / 45680
↖ ↑ ↗
← N 47.783634°
W 17.004090°		 ← 205.23 m → N 47.783634°
W 17.001343°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 47.781789°
W 17.004090°		 ← 205.23 m →
42 115 m²		 N 47.781789°
W 17.001343°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452770233154297 y=0.348514556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452770233154297 × 217)
    floor (0.452770233154297 × 131072)
    floor (59345.5)     		tx = 59345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348514556884766 × 217)
    floor (0.348514556884766 × 131072)
    floor (45680.5)     		ty = 45680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59345 / 45680 ti = "17/59345/45680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59345/45680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59345 ÷ 217
    59345 ÷ 131072     		x = 0.452766418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45680 ÷ 217
    45680 ÷ 131072     		y = 0.3485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452766418457031 × 2 - 1) × π
    -0.0944671630859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29677735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3485107421875 × 2 - 1) × π
    0.302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.951835078855835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29677735} λ = -0.29677735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951835078855835))-π/2
    2×atan(2.5904589968106)-π/2
    2×1.20238903986598-π/2
    2.40477807973197-1.57079632675     		φ = 0.83398175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29677735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.004090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83398175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.783634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59345 KachelY 45680 -0.29677735 0.83398175 -17.004090 47.783634
    Oben rechts KachelX + 1 59346 KachelY 45680 -0.29672941 0.83398175 -17.001343 47.783634
    Unten links KachelX 59345 KachelY + 1 45681 -0.29677735 0.83394954 -17.004090 47.781789
    Unten rechts KachelX + 1 59346 KachelY + 1 45681 -0.29672941 0.83394954 -17.001343 47.781789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83398175-0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83398175-0.83394954) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29677735--0.29672941) × cos(0.83398175) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671932159752895 × 6371000     		do = 205.225377122192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29677735--0.29672941) × cos(0.83394954) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671956014539426 × 6371000     		du = 205.23266298802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83398175)-sin(0.83394954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671932159752895-0.671956014539426)×R²
    abs(-0.29672941--0.29677735)×2.38547865314409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38547865314409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38547865314409e-05×40589641000000     		ar = 42115.0287385561m²