Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59343 / 45677
↖ ↑ ↗
← N 47.789171°
W 17.009583°		 ← 205.20 m → N 47.789171°
W 17.006836°		 →
↑
205.21 m
↓
↑
205.21 m
↓
N 47.787325°
W 17.009583°		 ← 205.21 m →
42 111 m²		 N 47.787325°
W 17.006836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59343 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45677 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452754974365234 y=0.348491668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452754974365234 × 217)
    floor (0.452754974365234 × 131072)
    floor (59343.5)     		tx = 59343
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348491668701172 × 217)
    floor (0.348491668701172 × 131072)
    floor (45677.5)     		ty = 45677
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59343 / 45677 ti = "17/59343/45677"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59343/45677.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59343 ÷ 217
    59343 ÷ 131072     		x = 0.452751159667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45677 ÷ 217
    45677 ÷ 131072     		y = 0.348487854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452751159667969 × 2 - 1) × π
    -0.0944976806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29687322
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.348487854003906 × 2 - 1) × π
    0.303024291992188 × 3.1415926535     		Φ = 0.951978889554695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29687322} λ = -0.29687322}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.951978889554695))-π/2
    2×atan(2.5908315593179)-π/2
    2×1.20243735280959-π/2
    2.40487470561918-1.57079632675     		φ = 0.83407838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29687322} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.009583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83407838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.789171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59343 KachelY 45677 -0.29687322 0.83407838 -17.009583 47.789171
    Oben rechts KachelX + 1 59344 KachelY 45677 -0.29682528 0.83407838 -17.006836 47.789171
    Unten links KachelX 59343 KachelY + 1 45678 -0.29687322 0.83404617 -17.009583 47.787325
    Unten rechts KachelX + 1 59344 KachelY + 1 45678 -0.29682528 0.83404617 -17.006836 47.787325
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83407838-0.83404617) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dl = 205.209909999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83407838-0.83404617) × R
    3.2209999999977e-05 × 6371000     		dr = 205.209909999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29687322--0.29682528) × cos(0.83407838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.671860591210686 × 6371000     		do = 205.203518247227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29687322--0.29682528) × cos(0.83404617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6718844480885 × 6371000     		du = 205.210804751787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83407838)-sin(0.83404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671860591210686-0.6718844480885)×R²
    abs(-0.29682528--0.29687322)×2.38568778139214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38568778139214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38568778139214e-05×40589641000000     		ar = 42110.5431463771m²