Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59341 / 84673
↖ ↑ ↗
← S 46.439750°
W 17.015076°		 ← 210.43 m → S 46.439750°
W 17.012329°		 →
↑
210.43 m
↓
↑
210.43 m
↓
S 46.441642°
W 17.015076°		 ← 210.42 m →
44 281 m²		 S 46.441642°
W 17.012329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84673 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452739715576172 y=0.646007537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452739715576172 × 217)
    floor (0.452739715576172 × 131072)
    floor (59341.5)     		tx = 59341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.646007537841797 × 217)
    floor (0.646007537841797 × 131072)
    floor (84673.5)     		ty = 84673
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59341 / 84673 ti = "17/59341/84673"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59341/84673.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59341 ÷ 217
    59341 ÷ 131072     		x = 0.452735900878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84673 ÷ 217
    84673 ÷ 131072     		y = 0.646003723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452735900878906 × 2 - 1) × π
    -0.0945281982421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29696909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.646003723144531 × 2 - 1) × π
    -0.292007446289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.917368448029015
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29696909} λ = -0.29696909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917368448029015))-π/2
    2×atan(0.399569145749052)-π/2
    2×0.380134895859917-π/2
    0.760269791719833-1.57079632675     		φ = -0.81052654
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29696909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.015076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81052654 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.439750°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59341 KachelY 84673 -0.29696909 -0.81052654 -17.015076 -46.439750
    Oben rechts KachelX + 1 59342 KachelY 84673 -0.29692116 -0.81052654 -17.012329 -46.439750
    Unten links KachelX 59341 KachelY + 1 84674 -0.29696909 -0.81055957 -17.015076 -46.441642
    Unten rechts KachelX + 1 59342 KachelY + 1 84674 -0.29692116 -0.81055957 -17.012329 -46.441642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81052654--0.81055957) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dl = 210.434129999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81052654--0.81055957) × R
    3.30299999999895e-05 × 6371000     		dr = 210.434129999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29696909--0.29692116) × cos(-0.81052654) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689116971220798 × 6371000     		do = 210.43015723932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29696909--0.29692116) × cos(-0.81055957) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689093035651351 × 6371000     		du = 210.422848225244m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81052654)-sin(-0.81055957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689116971220798-0.689093035651351)×R²
    abs(-0.29692116--0.29696909)×2.3935569447131e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3935569447131e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3935569447131e-05×40589641000000     		ar = 44280.9180352991m²