Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59341 / 60139
↖ ↑ ↗
← S 81.706565°
E145.969849°		 ← 88.10 m → S 81.706565°
E145.975342°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
S 81.707357°
E145.969849°		 ← 88.09 m →
7 762 m²		 S 81.707357°
E145.975342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905479431152344 y=0.917655944824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905479431152344 × 216)
    floor (0.905479431152344 × 65536)
    floor (59341.5)     		tx = 59341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917655944824219 × 216)
    floor (0.917655944824219 × 65536)
    floor (60139.5)     		ty = 60139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59341 / 60139 ti = "16/59341/60139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59341/60139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59341 ÷ 216
    59341 ÷ 65536     		x = 0.905471801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60139 ÷ 216
    60139 ÷ 65536     		y = 0.917648315429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905471801757812 × 2 - 1) × π
    0.810943603515625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54765447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917648315429688 × 2 - 1) × π
    -0.835296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62416175900111
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54765447} λ = 2.54765447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62416175900111))-π/2
    2×atan(0.0725005044654836)-π/2
    2×0.0723738748964982-π/2
    0.144747749792996-1.57079632675     		φ = -1.42604858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54765447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.969849°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42604858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.706565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59341 KachelY 60139 2.54765447 -1.42604858 145.969849 -81.706565
    Oben rechts KachelX + 1 59342 KachelY 60139 2.54775034 -1.42604858 145.975342 -81.706565
    Unten links KachelX 59341 KachelY + 1 60140 2.54765447 -1.42606241 145.969849 -81.707357
    Unten rechts KachelX + 1 59342 KachelY + 1 60140 2.54775034 -1.42606241 145.975342 -81.707357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42604858--1.42606241) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dl = 88.1109299992446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42604858--1.42606241) × R
    1.38299999998814e-05 × 6371000     		dr = 88.1109299992446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54765447-2.54775034) × cos(-1.42604858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144242819079801 × 6371000     		do = 88.1017498042629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54765447-2.54775034) × cos(-1.42606241) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144229133695678 × 6371000     		du = 88.0933909390134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42604858)-sin(-1.42606241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144242819079801-0.144229133695678)×R²
    abs(2.54775034-2.54765447)×1.36853841220808e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36853841220808e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36853841220808e-05×40589641000000     		ar = 7762.358856213m²