Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59340 / 60157
↖ ↑ ↗
← S 81.720815°
E145.964355°		 ← 87.96 m → S 81.720815°
E145.969849°		 →
↑
87.92 m
↓
↑
87.92 m
↓
S 81.721606°
E145.964355°		 ← 87.95 m →
7 733 m²		 S 81.721606°
E145.969849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905464172363281 y=0.917930603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905464172363281 × 216)
    floor (0.905464172363281 × 65536)
    floor (59340.5)     		tx = 59340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917930603027344 × 216)
    floor (0.917930603027344 × 65536)
    floor (60157.5)     		ty = 60157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59340 / 60157 ti = "16/59340/60157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59340/60157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59340 ÷ 216
    59340 ÷ 65536     		x = 0.90545654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60157 ÷ 216
    60157 ÷ 65536     		y = 0.917922973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90545654296875 × 2 - 1) × π
    0.8109130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54755859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917922973632812 × 2 - 1) × π
    -0.835845947265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62588748738744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54755859} λ = 2.54755859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62588748738744))-π/2
    2×atan(0.0723754961830999)-π/2
    2×0.0722495191417347-π/2
    0.144499038283469-1.57079632675     		φ = -1.42629729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54755859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.964355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42629729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.720815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59340 KachelY 60157 2.54755859 -1.42629729 145.964355 -81.720815
    Oben rechts KachelX + 1 59341 KachelY 60157 2.54765447 -1.42629729 145.969849 -81.720815
    Unten links KachelX 59340 KachelY + 1 60158 2.54755859 -1.42631109 145.964355 -81.721606
    Unten rechts KachelX + 1 59341 KachelY + 1 60158 2.54765447 -1.42631109 145.969849 -81.721606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42629729--1.42631109) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dl = 87.9198000004062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42629729--1.42631109) × R
    1.38000000000638e-05 × 6371000     		dr = 87.9198000004062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54755859-2.54765447) × cos(-1.42629729) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143996705549978 × 6371000     		do = 87.9606007002704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54755859-2.54765447) × cos(-1.42631109) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		du = 87.9522587949214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42629729)-sin(-1.42631109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143996705549978-0.143983049357561)×R²
    abs(2.54765447-2.54755859)×1.36561924169165e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.36561924169165e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.36561924169165e-05×40589641000000     		ar = 7733.1117120763m²