Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59339 / 60158
↖ ↑ ↗
← S 81.721606°
E145.958862°		 ← 87.94 m → S 81.721606°
E145.964355°		 →
↑
87.98 m
↓
↑
87.98 m
↓
S 81.722397°
E145.958862°		 ← 87.93 m →
7 737 m²		 S 81.722397°
E145.964355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905448913574219 y=0.917945861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905448913574219 × 216)
    floor (0.905448913574219 × 65536)
    floor (59339.5)     		tx = 59339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917945861816406 × 216)
    floor (0.917945861816406 × 65536)
    floor (60158.5)     		ty = 60158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59339 / 60158 ti = "16/59339/60158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59339/60158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59339 ÷ 216
    59339 ÷ 65536     		x = 0.905441284179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60158 ÷ 216
    60158 ÷ 65536     		y = 0.917938232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905441284179688 × 2 - 1) × π
    0.810882568359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.54746272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.83587646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62598336118668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54746272} λ = 2.54746272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62598336118668))-π/2
    2×atan(0.0723685576019284)-π/2
    2×0.0722426167134826-π/2
    0.144485233426965-1.57079632675     		φ = -1.42631109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54746272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.958862°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42631109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.721606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59339 KachelY 60158 2.54746272 -1.42631109 145.958862 -81.721606
    Oben rechts KachelX + 1 59340 KachelY 60158 2.54755859 -1.42631109 145.964355 -81.721606
    Unten links KachelX 59339 KachelY + 1 60159 2.54746272 -1.42632490 145.958862 -81.722397
    Unten rechts KachelX + 1 59340 KachelY + 1 60159 2.54755859 -1.42632490 145.964355 -81.722397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42631109--1.42632490) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dl = 87.983510000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42631109--1.42632490) × R
    1.3810000000003e-05 × 6371000     		dr = 87.983510000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54746272-2.54755859) × cos(-1.42631109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143983049357561 × 6371000     		do = 87.9430856349026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54746272-2.54755859) × cos(-1.42632490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143969383241902 × 6371000     		du = 87.934738538595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42631109)-sin(-1.42632490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143983049357561-0.143969383241902)×R²
    abs(2.54755859-2.54746272)×1.3666115658395e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.3666115658395e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.3666115658395e-05×40589641000000     		ar = 7737.17415130812m²