Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59339 / 45537
↖ ↑ ↗
← N 48.046874°
W 17.020569°		 ← 204.18 m → N 48.046874°
W 17.017822°		 →
↑
204.13 m
↓
↑
204.13 m
↓
N 48.045038°
W 17.020569°		 ← 204.19 m →
41 680 m²		 N 48.045038°
W 17.017822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452724456787109 y=0.347423553466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452724456787109 × 217)
    floor (0.452724456787109 × 131072)
    floor (59339.5)     		tx = 59339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347423553466797 × 217)
    floor (0.347423553466797 × 131072)
    floor (45537.5)     		ty = 45537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59339 / 45537 ti = "17/59339/45537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59339/45537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59339 ÷ 217
    59339 ÷ 131072     		x = 0.452720642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45537 ÷ 217
    45537 ÷ 131072     		y = 0.347419738769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452720642089844 × 2 - 1) × π
    -0.0945587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29706497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347419738769531 × 2 - 1) × π
    0.305160522460938 × 3.1415926535     		Φ = 0.958690055501503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29706497} λ = -0.29706497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.958690055501503))-π/2
    2×atan(2.60827753579418)-π/2
    2×1.20468623514754-π/2
    2.40937247029508-1.57079632675     		φ = 0.83857614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29706497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.020569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83857614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.046874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59339 KachelY 45537 -0.29706497 0.83857614 -17.020569 48.046874
    Oben rechts KachelX + 1 59340 KachelY 45537 -0.29701703 0.83857614 -17.017822 48.046874
    Unten links KachelX 59339 KachelY + 1 45538 -0.29706497 0.83854410 -17.020569 48.045038
    Unten rechts KachelX + 1 59340 KachelY + 1 45538 -0.29701703 0.83854410 -17.017822 48.045038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83857614-0.83854410) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dl = 204.12684000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83857614-0.83854410) × R
    3.20400000000109e-05 × 6371000     		dr = 204.12684000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29706497--0.29701703) × cos(0.83857614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668522416436473 × 6371000     		do = 204.183953746564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29706497--0.29701703) × cos(0.83854410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668546243984748 × 6371000     		du = 204.191231293128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83857614)-sin(0.83854410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668522416436473-0.668546243984748)×R²
    abs(-0.29701703--0.29706497)×2.38275482746797e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38275482746797e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38275482746797e-05×40589641000000     		ar = 41680.168032006m²