Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59339 / 33491
↖ ↑ ↗
← N 65.709168°
W 17.020569°		 ← 125.64 m → N 65.709168°
W 17.017822°		 →
↑
125.64 m
↓
↑
125.64 m
↓
N 65.708038°
W 17.020569°		 ← 125.65 m →
15 786 m²		 N 65.708038°
W 17.017822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59339 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 33491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452724456787109 y=0.255519866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452724456787109 × 217)
    floor (0.452724456787109 × 131072)
    floor (59339.5)     		tx = 59339
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255519866943359 × 217)
    floor (0.255519866943359 × 131072)
    floor (33491.5)     		ty = 33491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59339 / 33491 ti = "17/59339/33491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59339/33491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59339 ÷ 217
    59339 ÷ 131072     		x = 0.452720642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 33491 ÷ 217
    33491 ÷ 131072     		y = 0.255516052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452720642089844 × 2 - 1) × π
    -0.0945587158203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.29706497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255516052246094 × 2 - 1) × π
    0.488967895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.5361379483247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29706497} λ = -0.29706497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5361379483247))-π/2
    2×atan(4.64661012479282)-π/2
    2×1.35881882953657-π/2
    2.71763765907314-1.57079632675     		φ = 1.14684133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29706497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.020569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14684133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.709168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59339 KachelY 33491 -0.29706497 1.14684133 -17.020569 65.709168
    Oben rechts KachelX + 1 59340 KachelY 33491 -0.29701703 1.14684133 -17.017822 65.709168
    Unten links KachelX 59339 KachelY + 1 33492 -0.29706497 1.14682161 -17.020569 65.708038
    Unten rechts KachelX + 1 59340 KachelY + 1 33492 -0.29701703 1.14682161 -17.017822 65.708038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14684133-1.14682161) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dl = 125.636120000359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14684133-1.14682161) × R
    1.97200000000564e-05 × 6371000     		dr = 125.636120000359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29706497--0.29701703) × cos(1.14684133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.411368518387129 × 6371000     		do = 125.64253414101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29706497--0.29701703) × cos(1.14682161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.41138649247803 × 6371000     		du = 125.648023891024m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14684133)-sin(1.14682161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411368518387129-0.41138649247803)×R²
    abs(-0.29701703--0.29706497)×1.79740909008186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79740909008186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79740909008186e-05×40589641000000     		ar = 15785.5853525179m²