Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59338 / 60138
↖ ↑ ↗
← S 81.705773°
E145.953369°		 ← 88.11 m → S 81.705773°
E145.958862°		 →
↑
88.11 m
↓
↑
88.11 m
↓
S 81.706565°
E145.953369°		 ← 88.10 m →
7 763 m²		 S 81.706565°
E145.958862°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905433654785156 y=0.917640686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905433654785156 × 216)
    floor (0.905433654785156 × 65536)
    floor (59338.5)     		tx = 59338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.917640686035156 × 216)
    floor (0.917640686035156 × 65536)
    floor (60138.5)     		ty = 60138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59338 / 60138 ti = "16/59338/60138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59338/60138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59338 ÷ 216
    59338 ÷ 65536     		x = 0.905426025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60138 ÷ 216
    60138 ÷ 65536     		y = 0.917633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905426025390625 × 2 - 1) × π
    0.81085205078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54736685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.917633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.83526611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.62406588520187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54736685} λ = 2.54736685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62406588520187))-π/2
    2×atan(0.0725074556975087)-π/2
    2×0.0723807897781857-π/2
    0.144761579556371-1.57079632675     		φ = -1.42603475
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54736685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.953369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42603475 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.705773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59338 KachelY 60138 2.54736685 -1.42603475 145.953369 -81.705773
    Oben rechts KachelX + 1 59339 KachelY 60138 2.54746272 -1.42603475 145.958862 -81.705773
    Unten links KachelX 59338 KachelY + 1 60139 2.54736685 -1.42604858 145.953369 -81.706565
    Unten rechts KachelX + 1 59339 KachelY + 1 60139 2.54746272 -1.42604858 145.958862 -81.706565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42603475--1.42604858) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dl = 88.1109300006593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42603475--1.42604858) × R
    1.38300000001035e-05 × 6371000     		dr = 88.1109300006593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54736685-2.54746272) × cos(-1.42603475) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144256504436334 × 6371000     		do = 88.1101086526614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54736685-2.54746272) × cos(-1.42604858) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.144242819079801 × 6371000     		du = 88.1017498042629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42603475)-sin(-1.42604858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.144256504436334-0.144242819079801)×R²
    abs(2.54746272-2.54736685)×1.36853565331219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36853565331219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36853565331219e-05×40589641000000     		ar = 7763.09536301787m²