Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59338 / 45470
↖ ↑ ↗
← N 48.169749°
W 17.023315°		 ← 203.65 m → N 48.169749°
W 17.020569°		 →
↑
203.68 m
↓
↑
203.68 m
↓
N 48.167917°
W 17.023315°		 ← 203.66 m →
41 481 m²		 N 48.167917°
W 17.020569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452716827392578 y=0.346912384033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452716827392578 × 217)
    floor (0.452716827392578 × 131072)
    floor (59338.5)     		tx = 59338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346912384033203 × 217)
    floor (0.346912384033203 × 131072)
    floor (45470.5)     		ty = 45470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59338 / 45470 ti = "17/59338/45470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59338/45470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59338 ÷ 217
    59338 ÷ 131072     		x = 0.452713012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45470 ÷ 217
    45470 ÷ 131072     		y = 0.346908569335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452713012695312 × 2 - 1) × π
    -0.094573974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29711290
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346908569335938 × 2 - 1) × π
    0.306182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.961901827776047
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29711290} λ = -0.29711290}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.961901827776047))-π/2
    2×atan(2.61666819650086)-π/2
    2×1.20575852407292-π/2
    2.41151704814585-1.57079632675     		φ = 0.84072072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29711290} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.023315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84072072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.169749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59338 KachelY 45470 -0.29711290 0.84072072 -17.023315 48.169749
    Oben rechts KachelX + 1 59339 KachelY 45470 -0.29706497 0.84072072 -17.020569 48.169749
    Unten links KachelX 59338 KachelY + 1 45471 -0.29711290 0.84068875 -17.023315 48.167917
    Unten rechts KachelX + 1 59339 KachelY + 1 45471 -0.29706497 0.84068875 -17.020569 48.167917
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84072072-0.84068875) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dl = 203.680869999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84072072-0.84068875) × R
    3.19699999999923e-05 × 6371000     		dr = 203.680869999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29711290--0.29706497) × cos(0.84072072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.666925973345802 × 6371000     		do = 203.653869080725m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29711290--0.29706497) × cos(0.84068875) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.666949794618623 × 6371000     		du = 203.661143192951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84072072)-sin(0.84068875))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666925973345802-0.666949794618623)×R²
    abs(-0.29706497--0.29711290)×2.38212728211895e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38212728211895e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38212728211895e-05×40589641000000     		ar = 41481.1380355079m²