Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59335 / 84672
↖ ↑ ↗
← S 46.437857°
W 17.031555°		 ← 210.44 m → S 46.437857°
W 17.028809°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.439750°
W 17.031555°		 ← 210.43 m →
44 296 m²		 S 46.439750°
W 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452693939208984 y=0.645999908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452693939208984 × 217)
    floor (0.452693939208984 × 131072)
    floor (59335.5)     		tx = 59335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645999908447266 × 217)
    floor (0.645999908447266 × 131072)
    floor (84672.5)     		ty = 84672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59335 / 84672 ti = "17/59335/84672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59335/84672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59335 ÷ 217
    59335 ÷ 131072     		x = 0.452690124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84672 ÷ 217
    84672 ÷ 131072     		y = 0.64599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452690124511719 × 2 - 1) × π
    -0.0946197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29725671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64599609375 × 2 - 1) × π
    -0.2919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.917320511129395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29725671} λ = -0.29725671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917320511129395))-π/2
    2×atan(0.399588300314184)-π/2
    2×0.380151413212421-π/2
    0.760302826424842-1.57079632675     		φ = -0.81049350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29725671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.031555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81049350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.437857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59335 KachelY 84672 -0.29725671 -0.81049350 -17.031555 -46.437857
    Oben rechts KachelX + 1 59336 KachelY 84672 -0.29720878 -0.81049350 -17.028809 -46.437857
    Unten links KachelX 59335 KachelY + 1 84673 -0.29725671 -0.81052654 -17.031555 -46.439750
    Unten rechts KachelX + 1 59336 KachelY + 1 84673 -0.29720878 -0.81052654 -17.028809 -46.439750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81049350--0.81052654) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dl = 210.497840000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81049350--0.81052654) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dr = 210.497840000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29725671--0.29720878) × cos(-0.81049350) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689140913284706 × 6371000     		do = 210.437468236557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29725671--0.29720878) × cos(-0.81052654) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.689116971220798 × 6371000     		du = 210.43015723932m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81049350)-sin(-0.81052654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689140913284706-0.689116971220798)×R²
    abs(-0.29720878--0.29725671)×2.39420639072119e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39420639072119e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39420639072119e-05×40589641000000     		ar = 44295.8630483126m²