Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59335 / 45491
↖ ↑ ↗
← N 48.131267°
W 17.031555°		 ← 203.81 m → N 48.131267°
W 17.028809°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 48.129435°
W 17.031555°		 ← 203.81 m →
41 538 m²		 N 48.129435°
W 17.028809°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59335 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452693939208984 y=0.347072601318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452693939208984 × 217)
    floor (0.452693939208984 × 131072)
    floor (59335.5)     		tx = 59335
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347072601318359 × 217)
    floor (0.347072601318359 × 131072)
    floor (45491.5)     		ty = 45491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59335 / 45491 ti = "17/59335/45491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59335/45491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59335 ÷ 217
    59335 ÷ 131072     		x = 0.452690124511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45491 ÷ 217
    45491 ÷ 131072     		y = 0.347068786621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452690124511719 × 2 - 1) × π
    -0.0946197509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29725671
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347068786621094 × 2 - 1) × π
    0.305862426757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.960895152884026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29725671} λ = -0.29725671}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960895152884026))-π/2
    2×atan(2.61403538774027)-π/2
    2×1.2054227093514-π/2
    2.4108454187028-1.57079632675     		φ = 0.84004909
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29725671} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.031555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84004909 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.131267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59335 KachelY 45491 -0.29725671 0.84004909 -17.031555 48.131267
    Oben rechts KachelX + 1 59336 KachelY 45491 -0.29720878 0.84004909 -17.028809 48.131267
    Unten links KachelX 59335 KachelY + 1 45492 -0.29725671 0.84001710 -17.031555 48.129435
    Unten rechts KachelX + 1 59336 KachelY + 1 45492 -0.29720878 0.84001710 -17.028809 48.129435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84004909-0.84001710) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dl = 203.808290000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84004909-0.84001710) × R
    3.19900000000928e-05 × 6371000     		dr = 203.808290000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29725671--0.29720878) × cos(0.84004909) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667426270506328 × 6371000     		do = 203.80664083703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29725671--0.29720878) × cos(0.84001710) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.667450092346371 × 6371000     		du = 203.813915122464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84004909)-sin(0.84001710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667426270506328-0.667450092346371)×R²
    abs(-0.29720878--0.29725671)×2.38218400427925e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38218400427925e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38218400427925e-05×40589641000000     		ar = 41538.2242432291m²