Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59334 / 60171
↖ ↑ ↗
← S 81.731882°
E145.931396°		 ← 87.83 m → S 81.731882°
E145.936889°		 →
↑
87.79 m
↓
↑
87.79 m
↓
S 81.732671°
E145.931396°		 ← 87.83 m →
7 711 m²		 S 81.732671°
E145.936889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905372619628906 y=0.918144226074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905372619628906 × 216)
    floor (0.905372619628906 × 65536)
    floor (59334.5)     		tx = 59334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918144226074219 × 216)
    floor (0.918144226074219 × 65536)
    floor (60171.5)     		ty = 60171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59334 / 60171 ti = "16/59334/60171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59334/60171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59334 ÷ 216
    59334 ÷ 65536     		x = 0.905364990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60171 ÷ 216
    60171 ÷ 65536     		y = 0.918136596679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905364990234375 × 2 - 1) × π
    0.81072998046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54698335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918136596679688 × 2 - 1) × π
    -0.836273193359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.6272297205768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54698335} λ = 2.54698335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.6272297205768))-π/2
    2×atan(0.0722784165563498)-π/2
    2×0.0721529447141054-π/2
    0.144305889428211-1.57079632675     		φ = -1.42649044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54698335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.931396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42649044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.731882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59334 KachelY 60171 2.54698335 -1.42649044 145.931396 -81.731882
    Oben rechts KachelX + 1 59335 KachelY 60171 2.54707922 -1.42649044 145.936889 -81.731882
    Unten links KachelX 59334 KachelY + 1 60172 2.54698335 -1.42650422 145.931396 -81.732671
    Unten rechts KachelX + 1 59335 KachelY + 1 60172 2.54707922 -1.42650422 145.936889 -81.732671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42649044--1.42650422) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dl = 87.792379999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42649044--1.42650422) × R
    1.37799999999633e-05 × 6371000     		dr = 87.792379999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54698335-2.54707922) × cos(-1.42649044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143805565842155 × 6371000     		do = 87.8346808743159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54698335-2.54707922) × cos(-1.42650422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143791929058351 × 6371000     		du = 87.8263516935464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42649044)-sin(-1.42650422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143805565842155-0.143791929058351)×R²
    abs(2.54707922-2.54698335)×1.36367838038942e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36367838038942e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36367838038942e-05×40589641000000     		ar = 7710.85006139302m²