Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59333 / 84669
↖ ↑ ↗
← S 46.432178°
W 17.037048°		 ← 210.50 m → S 46.432178°
W 17.034302°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.434071°
W 17.037048°		 ← 210.50 m →
44 310 m²		 S 46.434071°
W 17.034302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452678680419922 y=0.645977020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452678680419922 × 217)
    floor (0.452678680419922 × 131072)
    floor (59333.5)     		tx = 59333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645977020263672 × 217)
    floor (0.645977020263672 × 131072)
    floor (84669.5)     		ty = 84669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59333 / 84669 ti = "17/59333/84669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59333/84669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59333 ÷ 217
    59333 ÷ 131072     		x = 0.452674865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84669 ÷ 217
    84669 ÷ 131072     		y = 0.645973205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452674865722656 × 2 - 1) × π
    -0.0946502685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29735259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645973205566406 × 2 - 1) × π
    -0.291946411132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.917176700430534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29735259} λ = -0.29735259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.917176700430534))-π/2
    2×atan(0.399645769519153)-π/2
    2×0.380200968712521-π/2
    0.760401937425041-1.57079632675     		φ = -0.81039439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29735259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.037048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81039439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.432178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59333 KachelY 84669 -0.29735259 -0.81039439 -17.037048 -46.432178
    Oben rechts KachelX + 1 59334 KachelY 84669 -0.29730465 -0.81039439 -17.034302 -46.432178
    Unten links KachelX 59333 KachelY + 1 84670 -0.29735259 -0.81042743 -17.037048 -46.434071
    Unten rechts KachelX + 1 59334 KachelY + 1 84670 -0.29730465 -0.81042743 -17.034302 -46.434071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81039439--0.81042743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dl = 210.497839999546m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81039439--0.81042743) × R
    3.30399999999287e-05 × 6371000     		dr = 210.497839999546m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29735259--0.29730465) × cos(-0.81039439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689212727716963 × 6371000     		do = 210.503307380478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29735259--0.29730465) × cos(-0.81042743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.689188787909791 × 6371000     		du = 210.495995547157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81039439)-sin(-0.81042743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689212727716963-0.689188787909791)×R²
    abs(-0.29730465--0.29735259)×2.39398071718577e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39398071718577e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39398071718577e-05×40589641000000     		ar = 44309.7219578131m²