Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59333 / 60172
↖ ↑ ↗
← S 81.732671°
E145.925904°		 ← 87.83 m → S 81.732671°
E145.931396°		 →
↑
87.86 m
↓
↑
87.86 m
↓
S 81.733461°
E145.925904°		 ← 87.82 m →
7 716 m²		 S 81.733461°
E145.931396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59333 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905357360839844 y=0.918159484863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905357360839844 × 216)
    floor (0.905357360839844 × 65536)
    floor (59333.5)     		tx = 59333
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.918159484863281 × 216)
    floor (0.918159484863281 × 65536)
    floor (60172.5)     		ty = 60172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59333 / 60172 ti = "16/59333/60172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59333/60172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59333 ÷ 216
    59333 ÷ 65536     		x = 0.905349731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60172 ÷ 216
    60172 ÷ 65536     		y = 0.91815185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905349731445312 × 2 - 1) × π
    0.810699462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54688748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.8363037109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.62732559437604
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54688748} λ = 2.54688748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62732559437604))-π/2
    2×atan(0.0722714872821247)-π/2
    2×0.0721460514480185-π/2
    0.144292102896037-1.57079632675     		φ = -1.42650422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54688748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.925904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42650422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.732671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59333 KachelY 60172 2.54688748 -1.42650422 145.925904 -81.732671
    Oben rechts KachelX + 1 59334 KachelY 60172 2.54698335 -1.42650422 145.931396 -81.732671
    Unten links KachelX 59333 KachelY + 1 60173 2.54688748 -1.42651801 145.925904 -81.733461
    Unten rechts KachelX + 1 59334 KachelY + 1 60173 2.54698335 -1.42651801 145.931396 -81.733461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42650422--1.42651801) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dl = 87.8560899993788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42650422--1.42651801) × R
    1.37899999999025e-05 × 6371000     		dr = 87.8560899993788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54688748-2.54698335) × cos(-1.42650422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143791929058351 × 6371000     		do = 87.8263516935464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54688748-2.54698335) × cos(-1.42651801) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.143778282351143 × 6371000     		du = 87.8180164516833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42650422)-sin(-1.42651801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143791929058351-0.143778282351143)×R²
    abs(2.54698335-2.54688748)×1.36467072074653e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.36467072074653e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.36467072074653e-05×40589641000000     		ar = 7715.71370792586m²