Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59332 / 84663
↖ ↑ ↗
← S 46.420819°
W 17.039795°		 ← 210.55 m → S 46.420819°
W 17.037048°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 46.422712°
W 17.039795°		 ← 210.54 m →
44 319 m²		 S 46.422712°
W 17.037048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84663 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452671051025391 y=0.645931243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452671051025391 × 217)
    floor (0.452671051025391 × 131072)
    floor (59332.5)     		tx = 59332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645931243896484 × 217)
    floor (0.645931243896484 × 131072)
    floor (84663.5)     		ty = 84663
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59332 / 84663 ti = "17/59332/84663"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59332/84663.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59332 ÷ 217
    59332 ÷ 131072     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84663 ÷ 217
    84663 ÷ 131072     		y = 0.645927429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645927429199219 × 2 - 1) × π
    -0.291854858398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.916889079032814
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916889079032814))-π/2
    2×atan(0.399760732726122)-π/2
    2×0.38030009520453-π/2
    0.76060019040906-1.57079632675     		φ = -0.81019614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81019614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.420819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59332 KachelY 84663 -0.29740053 -0.81019614 -17.039795 -46.420819
    Oben rechts KachelX + 1 59333 KachelY 84663 -0.29735259 -0.81019614 -17.037048 -46.420819
    Unten links KachelX 59332 KachelY + 1 84664 -0.29740053 -0.81022918 -17.039795 -46.422712
    Unten rechts KachelX + 1 59333 KachelY + 1 84664 -0.29735259 -0.81022918 -17.037048 -46.422712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81019614--0.81022918) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dl = 210.497840000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81019614--0.81022918) × R
    3.30400000000397e-05 × 6371000     		dr = 210.497840000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(-0.81019614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689356358003465 × 6371000     		do = 210.547175766775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(-0.81022918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689332422711152 × 6371000     		du = 210.539865312408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81019614)-sin(-0.81022918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689356358003465-0.689332422711152)×R²
    abs(-0.29735259--0.29740053)×2.39352923124825e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39352923124825e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39352923124825e-05×40589641000000     		ar = 44318.9563036824m²