Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59332 / 81718
↖ ↑ ↗
← S 40.559721°
W 17.039795°		 ← 232.04 m → S 40.559721°
W 17.037048°		 →
↑
232.03 m
↓
↑
232.03 m
↓
S 40.561808°
W 17.039795°		 ← 232.03 m →
53 840 m²		 S 40.561808°
W 17.037048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81718 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452671051025391 y=0.623462677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452671051025391 × 217)
    floor (0.452671051025391 × 131072)
    floor (59332.5)     		tx = 59332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623462677001953 × 217)
    floor (0.623462677001953 × 131072)
    floor (81718.5)     		ty = 81718
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59332 / 81718 ti = "17/59332/81718"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59332/81718.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59332 ÷ 217
    59332 ÷ 131072     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81718 ÷ 217
    81718 ÷ 131072     		y = 0.623458862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623458862304688 × 2 - 1) × π
    -0.246917724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.775714909651749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.775714909651749))-π/2
    2×atan(0.460374537123168)-π/2
    2×0.431447822808904-π/2
    0.862895645617807-1.57079632675     		φ = -0.70790068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70790068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.559721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59332 KachelY 81718 -0.29740053 -0.70790068 -17.039795 -40.559721
    Oben rechts KachelX + 1 59333 KachelY 81718 -0.29735259 -0.70790068 -17.037048 -40.559721
    Unten links KachelX 59332 KachelY + 1 81719 -0.29740053 -0.70793710 -17.039795 -40.561808
    Unten rechts KachelX + 1 59333 KachelY + 1 81719 -0.29735259 -0.70793710 -17.037048 -40.561808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70790068--0.70793710) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dl = 232.031820000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70790068--0.70793710) × R
    3.6420000000037e-05 × 6371000     		dr = 232.031820000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(-0.70790068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759728611553004 × 6371000     		do = 232.040673382596m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(-0.70793710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.759704929297731 × 6371000     		du = 232.033440212255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70790068)-sin(-0.70793710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759728611553004-0.759704929297731)×R²
    abs(-0.29735259--0.29740053)×2.36822552721616e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36822552721616e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36822552721616e-05×40589641000000     		ar = 53839.98060221m²