Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59332 / 59332
↖ ↑ ↗
← S 81.042039°
E145.920410°		 ← 95.12 m → S 81.042039°
E145.925904°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
S 81.042894°
E145.920410°		 ← 95.11 m →
9 047 m²		 S 81.042894°
E145.925904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905342102050781 y=0.905342102050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905342102050781 × 216)
    floor (0.905342102050781 × 65536)
    floor (59332.5)     		tx = 59332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905342102050781 × 216)
    floor (0.905342102050781 × 65536)
    floor (59332.5)     		ty = 59332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59332 / 59332 ti = "16/59332/59332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59332/59332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59332 ÷ 216
    59332 ÷ 65536     		x = 0.90533447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59332 ÷ 216
    59332 ÷ 65536     		y = 0.90533447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    0.8106689453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.54679160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90533447265625 × 2 - 1) × π
    -0.8106689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.54679160301434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54679160} λ = 2.54679160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54679160301434))-π/2
    2×atan(0.0783325852920917)-π/2
    2×0.0781729564811146-π/2
    0.156345912962229-1.57079632675     		φ = -1.41445041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54679160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.920410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41445041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.042039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59332 KachelY 59332 2.54679160 -1.41445041 145.920410 -81.042039
    Oben rechts KachelX + 1 59333 KachelY 59332 2.54688748 -1.41445041 145.925904 -81.042039
    Unten links KachelX 59332 KachelY + 1 59333 2.54679160 -1.41446534 145.920410 -81.042894
    Unten rechts KachelX + 1 59333 KachelY + 1 59333 2.54688748 -1.41446534 145.925904 -81.042894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41445041--1.41446534) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dl = 95.1190300005071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41445041--1.41446534) × R
    1.49300000000796e-05 × 6371000     		dr = 95.1190300005071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54679160-2.54688748) × cos(-1.41445041) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155709740373345 × 6371000     		do = 95.1155253574111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54679160-2.54688748) × cos(-1.41446534) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.155694992459393 × 6371000     		du = 95.1065165723468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41445041)-sin(-1.41446534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155709740373345-0.155694992459393)×R²
    abs(2.54688748-2.54679160)×1.4747913951757e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.4747913951757e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.4747913951757e-05×40589641000000     		ar = 9046.8680567086m²