Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59332 / 45554
↖ ↑ ↗
← N 48.015650°
W 17.039795°		 ← 204.31 m → N 48.015650°
W 17.037048°		 →
↑
204.32 m
↓
↑
204.32 m
↓
N 48.013812°
W 17.039795°		 ← 204.31 m →
41 744 m²		 N 48.013812°
W 17.037048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59332 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452671051025391 y=0.347553253173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452671051025391 × 217)
    floor (0.452671051025391 × 131072)
    floor (59332.5)     		tx = 59332
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347553253173828 × 217)
    floor (0.347553253173828 × 131072)
    floor (45554.5)     		ty = 45554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59332 / 45554 ti = "17/59332/45554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59332/45554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59332 ÷ 217
    59332 ÷ 131072     		x = 0.452667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45554 ÷ 217
    45554 ÷ 131072     		y = 0.347549438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.09466552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29740053
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347549438476562 × 2 - 1) × π
    0.304901123046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.957875128207962
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29740053} λ = -0.29740053}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.957875128207962))-π/2
    2×atan(2.60615284509293)-π/2
    2×1.20441375401941-π/2
    2.40882750803883-1.57079632675     		φ = 0.83803118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29740053} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.039795°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83803118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.015650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59332 KachelY 45554 -0.29740053 0.83803118 -17.039795 48.015650
    Oben rechts KachelX + 1 59333 KachelY 45554 -0.29735259 0.83803118 -17.037048 48.015650
    Unten links KachelX 59332 KachelY + 1 45555 -0.29740053 0.83799911 -17.039795 48.013812
    Unten rechts KachelX + 1 59333 KachelY + 1 45555 -0.29735259 0.83799911 -17.037048 48.013812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83803118-0.83799911) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dl = 204.317969999615m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83803118-0.83799911) × R
    3.20699999999396e-05 × 6371000     		dr = 204.317969999615m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(0.83803118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668927599534925 × 6371000     		do = 204.307707094244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29740053--0.29735259) × cos(0.83799911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.668951437705889 × 6371000     		du = 204.314987885251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83803118)-sin(0.83799911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.668927599534925-0.668951437705889)×R²
    abs(-0.29735259--0.29740053)×2.38381709646296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38381709646296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38381709646296e-05×40589641000000     		ar = 41744.4797705143m²