Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59330 / 84662
↖ ↑ ↗
← S 46.418926°
W 17.045288°		 ← 210.55 m → S 46.418926°
W 17.042541°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 46.420819°
W 17.045288°		 ← 210.55 m →
44 334 m²		 S 46.420819°
W 17.042541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452655792236328 y=0.645923614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452655792236328 × 217)
    floor (0.452655792236328 × 131072)
    floor (59330.5)     		tx = 59330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645923614501953 × 217)
    floor (0.645923614501953 × 131072)
    floor (84662.5)     		ty = 84662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59330 / 84662 ti = "17/59330/84662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59330/84662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59330 ÷ 217
    59330 ÷ 131072     		x = 0.452651977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84662 ÷ 217
    84662 ÷ 131072     		y = 0.645919799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452651977539062 × 2 - 1) × π
    -0.094696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29749640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645919799804688 × 2 - 1) × π
    -0.291839599609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.916841142133194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29749640} λ = -0.29749640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.916841142133194))-π/2
    2×atan(0.39977989647556)-π/2
    2×0.380316618294751-π/2
    0.760633236589502-1.57079632675     		φ = -0.81016309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29749640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.045288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81016309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.418926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59330 KachelY 84662 -0.29749640 -0.81016309 -17.045288 -46.418926
    Oben rechts KachelX + 1 59331 KachelY 84662 -0.29744846 -0.81016309 -17.042541 -46.418926
    Unten links KachelX 59330 KachelY + 1 84663 -0.29749640 -0.81019614 -17.045288 -46.420819
    Unten rechts KachelX + 1 59331 KachelY + 1 84663 -0.29744846 -0.81019614 -17.042541 -46.420819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81016309--0.81019614) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999866m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81016309--0.81019614) × R
    3.30499999999789e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999866m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29749640--0.29744846) × cos(-0.81016309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689380299787243 × 6371000     		do = 210.554488203802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29749640--0.29744846) × cos(-0.81019614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.689356358003465 × 6371000     		du = 210.547175766775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81016309)-sin(-0.81019614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.689380299787243-0.689356358003465)×R²
    abs(-0.29744846--0.29749640)×2.39417837785139e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39417837785139e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39417837785139e-05×40589641000000     		ar = 44333.9095405511m²