Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59330 / 59642
↖ ↑ ↗
← S 81.303339°
E145.909424°		 ← 92.35 m → S 81.303339°
E145.914917°		 →
↑
92.32 m
↓
↑
92.32 m
↓
S 81.304169°
E145.909424°		 ← 92.34 m →
8 525 m²		 S 81.304169°
E145.914917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59642 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905311584472656 y=0.910072326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905311584472656 × 216)
    floor (0.905311584472656 × 65536)
    floor (59330.5)     		tx = 59330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910072326660156 × 216)
    floor (0.910072326660156 × 65536)
    floor (59642.5)     		ty = 59642
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59330 / 59642 ti = "16/59330/59642"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59330/59642.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59330 ÷ 216
    59330 ÷ 65536     		x = 0.905303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59642 ÷ 216
    59642 ÷ 65536     		y = 0.910064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905303955078125 × 2 - 1) × π
    0.81060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54659986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.82012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57651248077878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54659986} λ = 2.54659986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57651248077878))-π/2
    2×atan(0.0760387286661692)-π/2
    2×0.0758926858302655-π/2
    0.151785371660531-1.57079632675     		φ = -1.41901096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54659986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41901096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.303339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59330 KachelY 59642 2.54659986 -1.41901096 145.909424 -81.303339
    Oben rechts KachelX + 1 59331 KachelY 59642 2.54669573 -1.41901096 145.914917 -81.303339
    Unten links KachelX 59330 KachelY + 1 59643 2.54659986 -1.41902545 145.909424 -81.304169
    Unten rechts KachelX + 1 59331 KachelY + 1 59643 2.54669573 -1.41902545 145.914917 -81.304169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41901096--1.41902545) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dl = 92.3157899991534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41901096--1.41902545) × R
    1.44899999998671e-05 × 6371000     		dr = 92.3157899991534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54659986-2.54669573) × cos(-1.41901096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151203212416519 × 6371000     		do = 92.3530729287202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54659986-2.54669573) × cos(-1.41902545) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151188888996519 × 6371000     		du = 92.3443243589594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41901096)-sin(-1.41902545))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151203212416519-0.151188888996519)×R²
    abs(2.54669573-2.54659986)×1.43234200004339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.43234200004339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.43234200004339e-05×40589641000000     		ar = 8525.2430705711m²