Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59330 / 59586
↖ ↑ ↗
← S 81.256703°
E145.909424°		 ← 92.84 m → S 81.256703°
E145.914917°		 →
↑
92.83 m
↓
↑
92.83 m
↓
S 81.257537°
E145.909424°		 ← 92.84 m →
8 618 m²		 S 81.257537°
E145.914917°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905311584472656 y=0.909217834472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905311584472656 × 216)
    floor (0.905311584472656 × 65536)
    floor (59330.5)     		tx = 59330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909217834472656 × 216)
    floor (0.909217834472656 × 65536)
    floor (59586.5)     		ty = 59586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59330 / 59586 ti = "16/59330/59586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59330/59586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59330 ÷ 216
    59330 ÷ 65536     		x = 0.905303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59586 ÷ 216
    59586 ÷ 65536     		y = 0.909210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.905303955078125 × 2 - 1) × π
    0.81060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.54659986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909210205078125 × 2 - 1) × π
    -0.81842041015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57114354802133
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54659986} λ = 2.54659986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57114354802133))-π/2
    2×atan(0.0764480733761563)-π/2
    2×0.076299664743407-π/2
    0.152599329486814-1.57079632675     		φ = -1.41819700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54659986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41819700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.256703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59330 KachelY 59586 2.54659986 -1.41819700 145.909424 -81.256703
    Oben rechts KachelX + 1 59331 KachelY 59586 2.54669573 -1.41819700 145.914917 -81.256703
    Unten links KachelX 59330 KachelY + 1 59587 2.54659986 -1.41821157 145.909424 -81.257537
    Unten rechts KachelX + 1 59331 KachelY + 1 59587 2.54669573 -1.41821157 145.914917 -81.257537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41819700--1.41821157) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dl = 92.8254700002997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41819700--1.41821157) × R
    1.4570000000047e-05 × 6371000     		dr = 92.8254700002997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54659986-2.54669573) × cos(-1.41819700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.152007763897237 × 6371000     		do = 92.8444831334776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54659986-2.54669573) × cos(-1.41821157) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.151993363194709 × 6371000     		du = 92.8356873604941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41819700)-sin(-1.41821157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152007763897237-0.151993363194709)×R²
    abs(2.54669573-2.54659986)×1.4400702527978e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.4400702527978e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.4400702527978e-05×40589641000000     		ar = 8617.92454814423m²