Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59330 / 45494
↖ ↑ ↗
← N 48.125768°
W 17.045288°		 ← 203.87 m → N 48.125768°
W 17.042541°		 →
↑
203.81 m
↓
↑
203.81 m
↓
N 48.123935°
W 17.045288°		 ← 203.88 m →
41 551 m²		 N 48.123935°
W 17.042541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.452655792236328 y=0.347095489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.452655792236328 × 217)
    floor (0.452655792236328 × 131072)
    floor (59330.5)     		tx = 59330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.347095489501953 × 217)
    floor (0.347095489501953 × 131072)
    floor (45494.5)     		ty = 45494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59330 / 45494 ti = "17/59330/45494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59330/45494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59330 ÷ 217
    59330 ÷ 131072     		x = 0.452651977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45494 ÷ 217
    45494 ÷ 131072     		y = 0.347091674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.452651977539062 × 2 - 1) × π
    -0.094696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29749640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.347091674804688 × 2 - 1) × π
    0.305816650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.960751342185165
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29749640} λ = -0.29749640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.960751342185165))-π/2
    2×atan(2.61365948851413)-π/2
    2×1.20537471526252-π/2
    2.41074943052504-1.57079632675     		φ = 0.83995310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29749640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.045288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83995310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.125768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59330 KachelY 45494 -0.29749640 0.83995310 -17.045288 48.125768
    Oben rechts KachelX + 1 59331 KachelY 45494 -0.29744846 0.83995310 -17.042541 48.125768
    Unten links KachelX 59330 KachelY + 1 45495 -0.29749640 0.83992111 -17.045288 48.123935
    Unten rechts KachelX + 1 59331 KachelY + 1 45495 -0.29744846 0.83992111 -17.042541 48.123935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83995310-0.83992111) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dl = 203.808289999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83995310-0.83992111) × R
    3.19899999999818e-05 × 6371000     		dr = 203.808289999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29749640--0.29744846) × cos(0.83995310) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.667497748869543 × 6371000     		do = 203.870993896681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29749640--0.29744846) × cos(0.83992111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.66752156865996 × 6371000     		du = 203.878269073795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83995310)-sin(0.83992111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667497748869543-0.66752156865996)×R²
    abs(-0.29744846--0.29749640)×2.38197904172122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38197904172122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38197904172122e-05×40589641000000     		ar = 41551.3400209175m²