Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59328 / 59328
↖ ↑ ↗
← S 81.038617°
E145.898438°		 ← 95.14 m → S 81.038617°
E145.903931°		 →
↑
95.12 m
↓
↑
95.12 m
↓
S 81.039473°
E145.898438°		 ← 95.13 m →
9 049 m²		 S 81.039473°
E145.903931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.905281066894531 y=0.905281066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.905281066894531 × 216)
    floor (0.905281066894531 × 65536)
    floor (59328.5)     		tx = 59328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.905281066894531 × 216)
    floor (0.905281066894531 × 65536)
    floor (59328.5)     		ty = 59328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59328 / 59328 ti = "16/59328/59328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59328/59328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59328 ÷ 216
    59328 ÷ 65536     		x = 0.9052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59328 ÷ 216
    59328 ÷ 65536     		y = 0.9052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.54640811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9052734375 × 2 - 1) × π
    -0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.54640811} λ = 2.54640811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.54640810781738))-π/2
    2×atan(0.0783626312231836)-π/2
    2×0.0782028191050348-π/2
    0.15640563821007-1.57079632675     		φ = -1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.54640811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59328 KachelY 59328 2.54640811 -1.41439069 145.898438 -81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 59329 KachelY 59328 2.54650398 -1.41439069 145.903931 -81.038617
    Unten links KachelX 59328 KachelY + 1 59329 2.54640811 -1.41440562 145.898438 -81.039473
    Unten rechts KachelX + 1 59329 KachelY + 1 59329 2.54650398 -1.41440562 145.903931 -81.039473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41439069--1.41440562) × R
    1.49299999998576e-05 × 6371000     		dl = 95.1190299990925m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41439069--1.41440562) × R
    1.49299999998576e-05 × 6371000     		dr = 95.1190299990925m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.54640811-2.54650398) × cos(-1.41439069) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 95.1416362597958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.54640811-2.54650398) × cos(-1.41440562) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.155753983906936 × 6371000     		du = 95.1326284991313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41439069)-sin(-1.41440562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155753983906936)×R²
    abs(2.54650398-2.54640811)×1.47477750979674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.47477750979674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.47477750979674e-05×40589641000000     		ar = 9049.3517486354m²